統計的な推測の問題

手順 1：$X$ の分布を求める

$1$ 回投げたときに $1$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$、出ない確率は $\frac{5}{6}$ である。$5$ 回の試行は互いに独立なので、$X$ は二項分布 $B\left(5,\frac{1}{6}\right)$ に従う。したがって、$r=0,1,2,3,4,5$ に対して
$$P(X=r)={}_5{\mathrm{C}}_r{\left(\frac{1}{6}\right)}^r{\left(\frac{5}{6}\right)}^{5-r}$$
である。

手順 2：$X=4$ と $X=5$ の確率を求める

$X\geqq 4$ となるのは $X=4$ または $X=5$ のときである。
$$P(X=4)={}_5{\mathrm{C}}_4{\left(\frac{1}{6}\right)}^4{\left(\frac{5}{6}\right)}^1=5\cdot \frac{1}{1296}\cdot \frac{5}{6}=\frac{25}{7776}$$
$$P(X=5)={}_5{\mathrm{C}}_5{\left(\frac{1}{6}\right)}^5=\frac{1}{7776}$$

手順 3：足し合わせる

$X=4$ と $X=5$ は同時には起こらないので
$$P(X\geqq 4)=\frac{25}{7776}+\frac{1}{7776}=\frac{26}{7776}=\frac{13}{3888}$$

答え：$\frac{13}{3888}$

1 回ごとに 1 の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ で、$X$ は二項分布 $B(5,\frac{1}{6})$ に従う。
$P(X=4)={}_5{\mathrm{C}}_4{\left(\frac{1}{6}\right)}^4\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{5\cdot 5}{6^5}=\frac{25}{7776}$
$P(X=5)={\left(\frac{1}{6}\right)}^5=\frac{1}{7776}$
よって $P(X\geqq 4)=\frac{25+1}{7776}=\frac{26}{7776}=\frac{13}{3888}$
検算：$6^5=7776$、$26/2=13$、$7776/2=3888$ で、13 は素数かつ 3888=2^4·3^5 と互いに素なので既約。