統計的な推測の問題

手順1：$X$ が従う確率分布を考える。
$3$ の倍数の目は $3,6$ の $2$ 通りなので、$1$ 回投げて $3$ の倍数の目が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ です。各回の結果は独立なので、$X$ は二項分布 $B\left(5,\frac{1}{3}\right)$ に従います。よって、$r=0,1,\dots ,5$ に対して
$$P(X=r)={}_5{\mathrm{C}}_r{\left(\frac{1}{3}\right)}^r{\left(\frac{2}{3}\right)}^{5-r}$$

手順2：$P(X=4)$ と $P(X=5)$ を求める。
$$P(X=4)={}_5{\mathrm{C}}_4{\left(\frac{1}{3}\right)}^4{\left(\frac{2}{3}\right)}^1=5\cdot \frac{1}{81}\cdot \frac{2}{3}=\frac{10}{243}$$
$$P(X=5)={}_5{\mathrm{C}}_5{\left(\frac{1}{3}\right)}^5=\frac{1}{243}$$

手順3：足し合わせる。
$X\geqq 4$ となるのは $X=4$ または $X=5$ のときで、これらは同時には起こらないので
$$P(X\geqq 4)=P(X=4)+P(X=5)=\frac{10}{243}+\frac{1}{243}=\frac{11}{243}$$

1回のさいころ投げで3の倍数（3か6）が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。$X$ は二項分布 $B(5,\frac{1}{3})$ に従う。

$P(X=4)={}_5{\mathrm{C}}_4{\left(\frac{1}{3}\right)}^4\cdot \frac{2}{3}=5\cdot \frac{1}{81}\cdot \frac{2}{3}=\frac{10}{243}$

$P(X=5)={\left(\frac{1}{3}\right)}^5=\frac{1}{243}$

よって $P(X\geqq 4)=\frac{10}{243}+\frac{1}{243}=\frac{11}{243}$。

検算：余事象で全確率の和を確認すると、$P(X=0)=32/243$, $P(1)=80/243$, $P(2)=80/243$, $P(3)=40/243$, $P(4)=10/243$, $P(5)=1/243$ で合計 $243/243=1$。したがって $P(X\geqq 4)=11/243$ が確かめられた。