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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

$1$ 個のさいころを $6$ 回投げ、 $3$ の倍数の目が出た回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 2 X - 1$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。

この問題で使うもの

仮説検定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $X$ がどんな確率分布に従うかを考えましょう。 $1$ 回投げて $3$ の倍数の目が出る確率はいくつですか。

ヒント 2

$X$ は二項分布 $B (6, \frac{1}{3})$ に従います。二項分布 $B (n, p)$ の分散は $n p (1 - p)$ 、また $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ です。

ヒント 3

$V (X) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ です。これを使って $V (2 X - 1)$ を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{16}{3}

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解説を読む

手順1： $X$ の確率分布を決める

$1$ 回投げたとき、 $3$ の倍数の目（ $3$ と $6$ ）が出る確率は
$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
です。 $6$ 回の試行は互いに独立なので、 $X$ は二項分布 $B (6, \frac{1}{3})$ に従います。

手順2： $X$ の分散を求める

二項分布 $B (n, p)$ の分散は $n p (1 - p)$ なので
$V (X) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

手順3： $Y = 2 X - 1$ の分散を求める

$a, b$ を定数とするとき $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ が成り立ちます（定数 $b$ を足しても散らばりは変わりません）。よって
$V (Y) = V (2 X - 1) = 2^{2} V (X) = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$

答え： $V (Y) = \frac{16}{3}$

別解

1回のさいころ投げで3の倍数の目(3, 6)が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。したがって $X$ は二項分布 $B (6, \frac{1}{3})$ に従う。

$V (X) = n p (1 - p) = 6 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

$V (Y) = V (2 X - 1) = 2^{2} V (X) = 4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$

検算: $E (X) = 2$ 。 $X = k$ の確率は $_{6} C_{k} 2^{6 - k} / 3^{6}$ 。各 $k$ について $2^{6 - k}$ $_{6} C_{k}$ は 64, 192, 240, 160, 60, 12, 1 なので、 $E (X^{2}) = (192 + 4 \cdot 240 + 9 \cdot 160 + 16 \cdot 60 + 25 \cdot 12 + 36 \cdot 1) /729 = (192 + 960 + 1440 + 960 + 300 + 36) /729 = 3888/729 = 16/3$ 。 $V (X) = 16/3 - 4 = 4/3$ 。これは上の結果と一致する。

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