母平均・母比率の区間推定

信頼度 95% の信頼区間 $x ˉ \pm 1.96 \frac{σ}{n}$ を求め、その意味を説明できる

前提

標本平均の分布（数学B 統計的な推測）

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算数中学高校大学大学院

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標本平均の分布（数学B 統計的な推測）

説明

標本から計算した平均値 $x ˉ$ をもとに、分からない母平均 $m$ が「この範囲にあるだろう」と幅をもって見積もる方法を学びます。これを区間推定といい、得られる区間を信頼区間といいます。世論調査の支持率や製品の平均重量など、全体を調べられないときに一部（標本）から全体（母集団）を推し量る場面で使います。母比率 $p$ についても同じ考え方で信頼区間が作れます。

なぜそうしてよいのか

前提の技能より、母平均 $m$ ・母標準偏差 $σ$ の母集団から大きさ $n$ の標本を無作為に抽出すると、 $n$ が大きいとき標本平均 $X ˉ$ は近似的に正規分布 $N (m, \frac{σ ^{2}}{n})$ に従います。標準化した $Z = \frac{X ˉ - m}{σ / n}$ は近似的に標準正規分布 $N (0, 1)$ に従い、正規分布表から $P (0 \leq Z \leq 1.96) = 0.475$ なので $P (- 1.96 \leq Z \leq 1.96) = 0.95$ です。

不等式 $- 1.96 \leq \frac{X ˉ - m}{σ / n} \leq 1.96$ の各辺に正の数 $\frac{σ}{n}$ を掛けて $m$ について解くと $X ˉ - 1.96 \frac{σ}{n} \leq m \leq X ˉ + 1.96 \frac{σ}{n}$ となり、これが成り立つ確率が約 $0.95$ です。そこで実際に得た値 $x ˉ$ を入れた区間 $[x ˉ - 1.96 \frac{σ}{n}, x ˉ + 1.96 \frac{σ}{n}]$ を、信頼度 95% の信頼区間と呼びます。意味は「標本の取り方を何度も繰り返してそのたびに区間を作ると、そのうち約 95% の区間が $m$ を含む」ということです。 $m$ は定まった値なので、作った 1 つの区間に $m$ が入るか入らないかは決まっており、「 $m$ がこの区間に入る確率が 95%」という意味ではありません。 $σ$ が分からないときは、 $n$ が大きければ標本の標準偏差 $s$ で代用してかまいません。

母比率 $p$ の場合は、性質をもつものを $1$ 、もたないものを $0$ とする母集団を考えると、母平均は $p$ 、母分散は $p (1 - p)$ です。標本比率 $R$ はこの $0, 1$ の値の標本平均なので、同じ議論で信頼区間 $[R - 1.96 \frac{R ( 1 - R )}{n}, R + 1.96 \frac{R ( 1 - R )}{n}]$ が得られます（ $n$ が大きいとき、未知の $p (1 - p)$ を $R (1 - R)$ で代用します）。

手順

標本の大きさ $n$ 、標本平均 $x ˉ$ （母比率なら標本比率 $R$ ）、母標準偏差 $σ$ （分からなければ標本の標準偏差 $s$ ）を読み取る。
標準偏差の見積もり $\frac{σ}{n}$ （母比率なら $\frac{R ( 1 - R )}{n}$ ）を計算する。
それに $1.96$ を掛けて、区間の半分の幅 $1.96 \frac{σ}{n}$ を求める。
$x ˉ$ からその幅を引いた値と足した値を端とする区間 $[x ˉ - 1.96 \frac{σ}{n}, x ˉ + 1.96 \frac{σ}{n}]$ を答える。

例題

ある工場で作る製品の重さは、母標準偏差が $10$ g であることが分かっている。この製品から無作為に $100$ 個を抽出して重さを量ったところ、平均は $50.0$ g であった。製品の重さの母平均 $m$ (g) に対する信頼度 95% の信頼区間を求めよ。

例題の解答

手順1: $n = 100$ 、 $x ˉ = 50.0$ 、 $σ = 10$ である。
手順2: $\frac{σ}{n} = \frac{10}{100} = \frac{10}{10} = 1$ 。
手順3: 半分の幅は $1.96 \times 1 = 1.96$ 。
手順4: $50.0 - 1.96 = 48.04$ 、 $50.0 + 1.96 = 51.96$ より、信頼区間は $[48.04, 51.96]$ である。これは「同じ方法で区間を作ることを繰り返すと、約 95% の区間が $m$ を含む」という意味の区間である。

答え: $[48.04, 51.96]$

よくある誤り

$X ˉ$ の標準偏差を $\frac{σ}{n}$ としてしまう誤り。分散が $\frac{σ ^{2}}{n}$ なので、標準偏差は $\frac{σ}{n}$ 。例題なら $\frac{10}{100} = 0.1$ ではなく $\frac{10}{100} = 1$ である。
「母平均 $m$ がこの区間 $[48.04, 51.96]$ に入る確率が 95%」と説明してしまう誤り。正しくは、 $m$ は一定の値で、確率的に変わるのは標本から作る区間の方であり、「標本抽出を繰り返して区間を作ると、約 95% の区間が $m$ を含む」という意味である。
母比率の信頼区間で根号を忘れ、 $R \pm 1.96 \cdot \frac{R ( 1 - R )}{n}$ としてしまう誤り。正しくは $R \pm 1.96 \frac{R ( 1 - R )}{n}$ 。
標本を大きくすると区間の幅も大きくなると考えてしまう誤り。幅は $2 \times 1.96 \frac{σ}{n}$ なので $n$ が大きいほど狭くなり、 $n$ を $4$ 倍にすると幅は $\frac{1}{2}$ 倍になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

仮説検定（数学B 統計的な推測）