仮説検定

帰無仮説と有意水準を決め、検定統計量が棄却域に入るかで仮説を棄却するかを判断できる

前提

母平均・母比率の区間推定（数学B 統計的な推測）
二項分布の正規近似（数学B 統計的な推測）

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算数中学高校大学大学院

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多項式の不定積分（数学II 微分法と積分法）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）
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正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
確率変数の和と積（独立な場合）（数学B 統計的な推測）
標本平均の分布（数学B 統計的な推測）
母平均・母比率の区間推定（数学B 統計的な推測）
独立な試行と反復試行（数学A 場合の数と確率）
二項分布（数学B 統計的な推測）
二項分布の正規近似（数学B 統計的な推測）

説明

仮説検定は、手元のデータが「ある仮説のもとで偶然起こったと言えるか」を確率で判断する方法です。たとえば「このコインは公平か」「新しい製法で不良品の割合が変わったか」といった主張を、データから客観的に判定するときに使います。最初に判断の基準となる確率（有意水準）を決めておき、データから計算した値がまれな範囲（棄却域）に入るかどうかで結論を出します。

なぜそうしてよいのか

たとえば「コインは公平である（表の出る確率 $p = \frac{1}{2}$ ）」という仮説を疑いたいとします。直接「公平でない」ことを示すのは難しいので、まず否定したい側の仮説 $H_{0} : p = \frac{1}{2}$ （帰無仮説）を正しいと仮定します。すると、 $n$ 回投げたときの表の回数 $X$ は二項分布 $B (n, \frac{1}{2})$ に従います。 $n$ が大きければ、これは正規分布 $N (n p, n p (1 - p))$ で近似できるので、標準化した $Z = \frac{X - n p}{n p ( 1 - p )}$ はほぼ標準正規分布 $N (0, 1)$ に従います。

標準正規分布では $P (∣ Z ∣ ≧ 1.96) ≒ 0.05$ です。つまり $H_{0}$ が正しければ、 $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ となることは 100 回に 5 回程度しか起こらない「まれなこと」です。実際のデータでこのまれなことが起きたなら、「偶然」と考えるより「最初の仮定 $H_{0}$ が間違っていた」と考えるほうが自然です。そこで $H_{0}$ を捨て（棄却し）、対立仮説 $H_{1} : p \neq = \frac{1}{2}$ を採用します。この基準の確率 $0.05$ を有意水準、 $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ の範囲を棄却域といいます。

逆に $Z$ が棄却域に入らなければ「 $H_{0}$ のもとでも十分起こりうる結果」なので、 $H_{0}$ を棄却しません。ただしこれは「 $H_{0}$ が正しいと証明された」という意味ではなく、「 $H_{0}$ を否定できるだけの根拠がなかった」という意味です。この考え方は信頼区間と表裏の関係にあり、母平均の場合、仮説の値 $m_{0}$ が信頼度 95% の信頼区間 $x ˉ \pm 1.96 \frac{σ}{n}$ の外にあることと、有意水準 5% の両側検定で棄却されることは同じです。

手順

帰無仮説 $H_{0}$ （否定したい側の仮説。例: $p = p_{0}$ ）と対立仮説 $H_{1}$ （主張したい側。例: $p \neq = p_{0}$ ）を立てる
有意水準を決め、棄却域を定める。有意水準 5% の両側検定なら $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ （「増えた」など一方向だけを問う片側検定なら $Z ≧ 1.64$ などの片側の範囲）
$H_{0}$ が正しいと仮定して、統計量の分布を求め標準化の式をつくる。比率なら $Z = \frac{X - n p _{0}}{n p _{0} ( 1 - p _{0} )}$ 、母平均なら $Z = \frac{X ˉ - m _{0}}{σ / n}$
観測されたデータを代入して、検定統計量 $Z$ の値を計算する
$Z$ が棄却域に入れば $H_{0}$ を棄却して $H_{1}$ が正しいと判断する。入らなければ $H_{0}$ を棄却しない（ $H_{0}$ が正しいとまでは言えない）

例題

あるコインを 400 回投げたところ、表が 220 回出た。このコインは表と裏の出やすさが等しくないと判断してよいか、有意水準 5% で検定せよ。結論として正しいものを次から選べ。
ア：表と裏の出やすさが等しくないと判断してよい（帰無仮説は棄却される）
イ：表と裏の出やすさが等しくないとは判断できない（帰無仮説は棄却されない）

例題の解答

手順1：表の出る確率を $p$ とし、帰無仮説 $H_{0} : p = \frac{1}{2}$ 、対立仮説 $H_{1} : p \neq = \frac{1}{2}$ とする。
手順2：「等しくない」はどちら向きのずれも含むので両側検定。有意水準 5% の棄却域は $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ 。
手順3： $H_{0}$ が正しいとすると、表の回数 $X$ は二項分布 $B (400, \frac{1}{2})$ に従う。平均は $400 \cdot \frac{1}{2} = 200$ 、分散は $400 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 100$ 、標準偏差は $10$ 。 $n = 400$ は大きいので $X$ は近似的に $N (200, 1 0^{2})$ に従い、 $Z = \frac{X - 200}{10}$ は近似的に $N (0, 1)$ に従う。
手順4： $X = 220$ を代入すると $Z = \frac{220 - 200}{10} = 2$ 。
手順5： $∣ Z ∣ = 2 ≧ 1.96$ なので $Z$ は棄却域に入る。よって $H_{0}$ は棄却され、このコインは表と裏の出やすさが等しくないと判断してよい。答えはア。

答え:

ア

よくある誤り

棄却されなかったときに「帰無仮説が正しいことが示された」としてしまう誤り。正しくは「帰無仮説を否定する根拠がなかった」だけで、たとえば $∣ Z ∣ = 1.5 < 1.96$ でも $p = \frac{1}{2}$ が証明されたわけではない
標準化で分散のまま割ってしまう誤り。例題で $Z = \frac{220 - 200}{100} = 0.2$ とするのは誤りで、正しくは標準偏差 $100 = 10$ で割り $Z = \frac{220 - 200}{10} = 2$
標準偏差の計算に観測した比率を使ってしまう誤り。検定では $H_{0}$ を正しいと仮定するので、 $400 \cdot 0.55 \cdot 0.45$ ではなく仮説の値を使い $400 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 10$ とする
両側検定と片側検定の棄却域を取り違える誤り。「等しくない」を問う両側検定で $Z ≧ 1.64$ を使うのは誤りで、正しくは $∣ Z ∣ ≧ 1.96$ 。「大きくなった」だけを問う片側検定なら $Z ≧ 1.64$ を使う

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

難易度 2（教科書の演習問題レベル）
ある工場で製造される部品の重さ（単位: g）は、正規分布 $N (μ, 4^{2})$ （平均 $μ$ 、標準偏差 $4$ ）に従うとする。 $σ = 4$ は既知で、 $μ$ は未知の母数である。 $n$ を正の整数とし、無作為に抽出した $n$ 個の部品の重さ $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ は互いに独立にこの分布に従うとする。標本平均を $X ˉ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}$ とする。
帰無仮説 $H_{0} : μ = 50$ 、対立仮説 $H_{1} : μ > 50$ を、有意水準 $0.05$ で検定する。棄却域は
$X ˉ \geq 50 + 1.645 \cdot \frac{4}{n}$
とする（このとき有意水準はちょうど $0.05$ である）。
$μ = 52$ のときのこの検定の検出力が $0.90$ 以上となるような $n$ の最小値を求めよ。
ただし、標準正規分布の分布関数を $Φ (z)$ とし、 $Φ (1.645) = 0.95$ 、 $Φ (1.282) = 0.90$ とする。また $Φ$ は狭義単調増加である。

この技能の次に学べること

検定の有意水準と検出力（大学数学数理統計）