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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

表と裏の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ である硬貨を $8$ 回投げ、表の出た回数を $X$ とする。各回の結果は互いに影響しないものとする。

確率 $P (X ≧ 6)$ を求めよ。

この問題で使うもの

仮説検定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$X$ がどのような確率分布に従うかを考えましょう。 $X ≧ 6$ は $X = 6, 7, 8$ のいずれかが起こることです。

ヒント 2

$X$ は二項分布 $B (8, \frac{1}{2})$ に従うので、 $P (X = r) = \frac{_{8} C _{r}}{256}$ です。

ヒント 3

$_{8} C_{6} = 28$ , $_{8} C_{7} = 8$ , $_{8} C_{8} = 1$ です。これらを使って $P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8)$ を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{37}{256}

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解説を読む

手順1： $X$ の分布を確認する

表の出る確率 $\frac{1}{2}$ の試行を、互いに独立に $8$ 回繰り返すので、表の出た回数 $X$ は二項分布 $B (8, \frac{1}{2})$ に従う。よって $r = 0, 1, \dots, 8$ に対して
$P (X = r) =_{8} C_{r} (\frac{1}{2})^{r} (\frac{1}{2})^{8 - r} = \frac{_{8} C _{r}}{2 ^{8}} = \frac{_{8} C _{r}}{256}$
である。

手順2： $X = 6, 7, 8$ の確率を求める

$_{8} C_{6} =_{8} C_{2} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28,_{8} C_{7} =_{8} C_{1} = 8,_{8} C_{8} = 1$
より
$P (X = 6) = \frac{28}{256}, P (X = 7) = \frac{8}{256}, P (X = 8) = \frac{1}{256}$
である。

手順3：足し合わせる

事象 $X = 6$ , $X = 7$ , $X = 8$ は互いに排反であるから
$P (X ≧ 6) = P (X = 6) + P (X = 7) + P (X = 8) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$

よって、求める確率は $\frac{37}{256}$ である。

別解

$X$ は二項分布 $B (8, \frac{1}{2})$ に従う。
$P (X = k) =_{8} C_{k} (\frac{1}{2})^{8}$ である。
$_{8} C_{6} = 28$ , $_{8} C_{7} = 8$ , $_{8} C_{8} = 1$ より、
$P (X ≧ 6) = \frac{28 + 8 + 1}{256} = \frac{37}{256}$ 。
検算：対称性より $P (X ≦ 2) = \frac{1 + 8 + 28}{256} = \frac{37}{256}$ で、 $P (X ≧ 6)$ と一致する。

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