二項分布の正規近似

$n$ が大きいとき二項分布を正規分布 $N (n p, n p (1 - p))$ で近似して確率を求められる

前提

正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
二項分布（数学B 統計的な推測）

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算数中学高校大学大学院

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二項分布（数学B 統計的な推測）

説明

二項分布 $B (n, p)$ の確率を定義どおりに求めると、 $n$ が大きいときは $_{n} C_{r} p^{r} (1 - p)^{n - r}$ を非常に多く足すことになり、手計算ではまず無理です。そこで $n$ が大きいときは、二項分布を同じ平均と分散をもつ正規分布 $N (n p, n p (1 - p))$ で置き換え、標準化して正規分布表から確率の近似値を求めます。コインを数百回投げたときの表の回数や、大量生産品の不良品の個数などの確率を見積もる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

$B (n, p)$ に従う確率変数 $X$ は、「1 回の試行で事象が起これば 1、起こらなければ 0」をとる互いに独立な確率変数 $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}$ の和 $X = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ と考えられます。各 $X_{k}$ の期待値は $p$ 、分散は $p (1 - p)$ なので、和の性質から $E (X) = n p$ 、 $V (X) = n p (1 - p)$ です。

$n$ を大きくしながら $B (n, p)$ の確率分布をヒストグラムに描くと、その形は平均 $n p$ を中心とする左右対称なつりがね型に近づいていきます（多くの独立な確率変数を足し合わせると、分布が正規分布に近づくことが知られています）。つりがね型の曲線、つまり正規分布の形は平均と分散で決まります。そこで、二項分布と平均・分散が等しい正規分布 $N (n p, n p (1 - p))$ を選べば、二項分布をよく近似できます。

いったん正規分布で近似すれば、あとは前提の技能どおり $Z = \frac{X - n p}{n p ( 1 - p )}$ と標準化すると、 $Z$ は近似的に標準正規分布 $N (0, 1)$ に従います。したがって正規分布表から確率の近似値が求められます。 $N (m, σ^{2})$ の 2 つ目の数は分散であり、標準化で割るのはその正の平方根である標準偏差 $σ$ です。

手順

確率変数 $X$ が二項分布 $B (n, p)$ に従うことを確かめ、 $n$ と $p$ を読み取る（ $n$ が十分大きいことも確認する）
平均 $m = n p$ と標準偏差 $σ = n p (1 - p)$ を計算する
$X$ が近似的に $N (m, σ^{2})$ に従うとみなし、 $Z = \frac{X - m}{σ}$ と標準化して、求めたい $X$ の範囲を $Z$ の範囲に書き換える
$P (0 \leq Z \leq u) = p (u)$ の表の値と、 $Z$ の分布が $0$ に関して対称であること、 $P (Z \geq 0) = 0.5$ を使って確率の近似値を求める

例題

1 枚の硬貨を 400 回投げるとき、表が出る回数を $X$ とする。 $X \geq 220$ となる確率を、正規分布で近似して求めよ。ただし、 $Z$ が標準正規分布 $N (0, 1)$ に従うとき $P (0 \leq Z \leq 2) = 0.4772$ とする。

例題の解答

手順 1: 1 回投げて表が出る確率は $\frac{1}{2}$ で、各回は独立なので、 $X$ は二項分布 $B (400, \frac{1}{2})$ に従う。 $n = 400$ は十分大きい。

手順 2: $m = 400 \cdot \frac{1}{2} = 200$ 、 $σ = 400 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 100 = 10$ 。

手順 3: $X$ は近似的に $N (200, 1 0^{2})$ に従う。 $Z = \frac{X - 200}{10}$ とおくと、 $Z$ は近似的に $N (0, 1)$ に従う。 $X \geq 220$ は $Z \geq \frac{220 - 200}{10} = 2$ と同じである。

手順 4: $P (X \geq 220) ≒ P (Z \geq 2) = P (Z \geq 0) - P (0 \leq Z \leq 2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$ 。

よって、求める確率はおよそ $0.0228$ である。

答え: $0.0228$

よくある誤り

分散のまま割って $Z = \frac{X - n p}{n p ( 1 - p )}$ としてしまう誤り。正しくは標準偏差で割り、 $Z = \frac{X - n p}{n p ( 1 - p )}$ 。例題なら $\frac{220 - 200}{100} = 0.2$ ではなく $\frac{220 - 200}{10} = 2$ 。
$N (n p, n p (1 - p))$ の 2 つ目の数を標準偏差と読み、 $N (200, 100)$ の標準偏差を $100$ としてしまう誤り。正しくは 2 つ目の数は分散で、標準偏差は $100 = 10$ 。
表の値 $p (u) = P (0 \leq Z \leq u)$ をそのまま答えて $P (Z \geq 2) = 0.4772$ としてしまう誤り。正しくは $P (Z \geq 2) = 0.5 - p (2) = 0.5 - 0.4772 = 0.0228$ 。
近似で得た値を正確な値と思ってしまう誤り。正しくは $P (X \geq 220) ≒ 0.0228$ という近似値であり、 $n$ が小さいときは近似の精度が悪いので、 $n$ が大きい場合にだけ使う。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能の次に学べること

仮説検定（数学B 統計的な推測）