統計的な推測の問題

手順 1：$X$ が従う二項分布を確かめる。

$100$ 粒の種子それぞれについて、発芽する確率は $0.8$ で、発芽するかどうかは互いに独立である。よって、発芽する個数 $X$ は二項分布 $B(100,0.8)$ に従う。

手順 2：期待値と標準偏差を求める。

$$E(X)=np=100\times 0.8=80$$
$$V(X)=np(1-p)=100\times 0.8\times 0.2=16$$
よって、標準偏差は $\sigma (X)=\sqrt{16}=4$ である。

手順 3：正規分布で近似する。

$n=100$ は十分大きいので、$X$ の分布は正規分布 $N(80,4^2)$ で近似できる。

手順 4：標準化する。

$Z=\frac{X-80}{4}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。
$X=72$ のとき $Z=\frac{72-80}{4}=-2$、$X=88$ のとき $Z=\frac{88-80}{4}=2$ である。よって
$$P(72\leqq X\leqq 88)\fallingdotseq P(-2\leqq Z\leqq 2)$$

手順 5：与えられた値を使って計算する。

標準正規分布は $Z=0$ に関して対称なので、$P(-2\leqq Z\leqq 0)=P(0\leqq Z\leqq 2)$ である。よって
$$P(-2\leqq Z\leqq 2)=2P(0\leqq Z\leqq 2)=2\times 0.4772=0.9544$$

したがって、求める確率は $0.9544$ である。

$X$ は二項分布 $B(100,0.8)$ に従う。平均 $m=100\times 0.8=80$、分散 $100\times 0.8\times 0.2=16$、標準偏差 $\sigma =4$ である。

$X$ を正規分布 $N(80,4^2)$ で近似し、$Z=\frac{X-80}{4}$ とおくと $Z$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとみなせる。

$X=72$ のとき $Z=-2$、$X=88$ のとき $Z=2$ である。よって
$P(72\leqq X\leqq 88)\approx P(-2\leqq Z\leqq 2)=2P(0\leqq Z\leqq 2)=2\times 0.4772=0.9544$

検算: $-2\leqq Z\leqq 2$ は平均から $\pm 2\sigma$ の範囲であり、約 95% という知られた値と一致する。

答え: $0.9544$