統計的な推測の問題

手順 1：$X$ が従う二項分布を確認する。

1 個の種子が発芽する確率は $\frac{4}{5}$ で、$100$ 個の種子について独立に発芽するかどうかが決まるので、$X$ は二項分布 $B\left(100,\frac{4}{5}\right)$ に従います。

手順 2：期待値と標準偏差を求める。

二項分布 $B(n,p)$ の期待値は $np$、分散は $np(1-p)$ なので
$$m=E(X)=100\cdot \frac{4}{5}=80$$
$$V(X)=100\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{5}=16$$
よって標準偏差は $\sigma =\sqrt{16}=4$ です。

手順 3：標準化する。

$X$ の分布を $N(80,4^2)$ で近似し、$Z=\frac{X-80}{4}$ とおきます。$4>0$ なので、$X$ が大きいほど $Z$ も大きくなります。したがって
$$76\leqq X\leqq c⟺\frac{76-80}{4}\leqq Z\leqq \frac{c-80}{4}⟺-1\leqq Z\leqq \frac{c-80}{4}$$
となり、
$$P(76\leqq X\leqq c)=P\left(-1\leqq Z\leqq \frac{c-80}{4}\right)$$
です。

手順 4：$c$ を求める。

$Z$ は標準正規分布に従うとみなすので、区間の右端が大きくなるほど確率 $P(-1\leqq Z\leqq t)$ は大きくなります（右端が $-1$ より小さいと確率は $0$ です）。よって $P\left(-1\leqq Z\leqq \frac{c-80}{4}\right)=P(-1\leqq Z\leqq 2)$ となるのは
$$\frac{c-80}{4}=2$$
のときに限ります。これを解いて
$$c=80+2\cdot 4=88$$

よって $c=88$ です。

$X$ は二項分布 $B(100,\frac{4}{5})$ に従うので、$m=100\cdot \frac{4}{5}=80$、${\sigma }^2=100\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{1}{5}=16$、よって $\sigma =4$ である。
$Z=\frac{X-80}{4}$ より、$-1\leqq Z\leqq 2$ は $76\leqq X\leqq 88$ と同値である。
したがって $P(76\leqq X\leqq c)=P(-1\leqq Z\leqq 2)$ となる $c$ は $c=88$ である。
検算：$X=76$ のとき $Z=(76-80)/4=-1$、$X=88$ のとき $Z=(88-80)/4=2$ となり、条件を満たす。$c$ がこれ以外だと確率が変わる（$c$ について確率は単調増加）ので、$c$ は一意に定まる。