統計的な推測の問題

ある植物の種子は、1 粒まいたときに発芽する確率が $0.8$ である。この種子を $100$ 粒まき、発芽する種子の個数を $X$ とする。$X$ の分布を正規分布で近似して、確率 $P(72\leqq X\leqq 88)$ を求めよ。ただし、各種子が発芽するかどうかは互いに独立であるとする。また、$Z$ が標準正規分布 $N(0,1)$ に従うとき、$P(0\leqq Z\leqq 2)=0.4772$ であることを用いよ。

ある植物の種子は、1 個まくと確率 $\frac{4}{5}$ で発芽する。この種子を $100$ 個まくとき、発芽する種子の個数を $X$ とする。ただし、各種子が発芽するかどうかは互いに独立であるとする。

$X$ の期待値を $m$、標準偏差を $\sigma$ とする。$X$ の分布を正規分布 $N(m,{\sigma }^2)$ で近似し、$Z=\frac{X-m}{\sigma }$ とおく。このとき
$$P(76\leqq X\leqq c)=P(-1\leqq Z\leqq 2)$$
が成り立つような実数 $c$ を求めよ。

$1$ から $6$ までの目が同様に確からしく出る $1$ 個のさいころを、$180$ 回続けて投げる。各回の投げ方は互いに独立であるとする。このとき、$3$ の倍数の目（すなわち $3$ または $6$ の目）が出る回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V(X)$ を求めよ。

当たりを引く確率が $\frac{1}{5}$ であるくじがある。このくじを $1$ 本引いて当たりかどうかを確かめ、もとに戻す。この試行を $100$ 回繰り返す。ただし、各回の試行は互いに独立であるとする。当たりを引いた回数を $X$ とするとき、確率変数 $X$ の標準偏差 $\sigma (X)$ を求めよ。

3 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $X$ とする。確率変数 $Y$ を $Y=4X-3$ で定めるとき、$Y$ の分散 $V(Y)$ を求めよ。