統計的な推測の問題

手順 1：$X$ が従う分布を調べる。

さいころの目のうち $3$ の倍数は $3,6$ の $2$ 通りなので、$1$ 回投げて $3$ の倍数の目が出る確率は
$$p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$
である。$180$ 回の試行は互いに独立で、毎回この確率は変わらない。したがって、$3$ の倍数の目が出る回数 $X$ は二項分布 $B\left(180,\frac{1}{3}\right)$ に従う。

手順 2：二項分布の分散の公式を使う。

確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,p)$ に従うとき、$q=1-p$ として
$$E(X)=np,V(X)=npq$$
である。

ここでは $n=180$、$p=\frac{1}{3}$、$q=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$ なので
$$V(X)=180\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=60\times \frac{2}{3}=40$$

よって、$V(X)=40$ である。

（参考：平均は $E(X)=180\times \frac{1}{3}=60$、標準偏差は $\sigma (X)=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ である。分散は標準偏差ではなく、その $2$ 乗であることに注意する。）

1回の試行で3の倍数の目（3または6）が出る確率は $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ である。各回は互いに独立なので、$X$ は二項分布 $B(180,\frac{1}{3})$ に従う。

分散は $V(X)=np(1-p)$ で求められる。

$V(X)=180\times \frac{1}{3}\times \frac{2}{3}=60\times \frac{2}{3}=40$

検算：期待値は $E(X)=180\times \frac{1}{3}=60$。$1$回あたりの分散は $\frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{9}$ で、$180\times \frac{2}{9}=40$ となり一致する。