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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

1個のさいころを $90$ 回投げるとき、 $1$ の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 2 X + 5$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしいものとする。

この問題で使うもの

二項分布（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $X$ がどのような分布に従うかを考え、その分散を求めてから、 $Y = 2 X + 5$ の分散に直します。

ヒント 2

$X$ は二項分布 $B (90, \frac{1}{6})$ に従います。 $V (X) = n p (1 - p)$ 、 $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ を使います。

ヒント 3

$V (X) = 90 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{2}$ です。これを $V (2 X + 5) = 2^{2} V (X)$ に代入します。

答えと解説

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50

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解説を読む

手順1： $X$ が従う分布を調べる

1回の試行で $1$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ である。各回の試行は独立で、 $90$ 回くり返すので、 $X$ は二項分布 $B (90, \frac{1}{6})$ に従う。

手順2： $X$ の分散を求める

二項分布 $B (n, p)$ に従う確率変数の分散は $n p (1 - p)$ である。よって
$V (X) = 90 \cdot \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{6}) = 90 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{450}{36} = \frac{25}{2}$

手順3： $Y = 2 X + 5$ の分散を求める

$a, b$ を定数とするとき $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ が成り立つ（定数 $b$ を加えても散らばりは変わらない）。よって
$V (Y) = V (2 X + 5) = 2^{2} V (X) = 4 \cdot \frac{25}{2} = 50$

答えは $50$ である。

別解

X は二項分布 $B (90, \frac{1}{6})$ に従う。
$V (X) = n p (1 - p) = 90 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{2}$ 。
$V (Y) = V (2 X + 5) = 2^{2} V (X) = 4 \cdot \frac{25}{2} = 50$ 。
検算： $E (X) = 15$ 、 $V (X) = 15 \cdot \frac{5}{6} = 12.5$ なので $4 \times 12.5 = 50$ 。

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