統計的な推測の問題

手順1：$X$ の分布を確かめる

さいころを $1$ 回投げて $1$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ である。この試行を独立に $720$ 回くり返すので、$X$ は二項分布 $B\left(720,\frac{1}{6}\right)$ に従う。

手順2：期待値と標準偏差を求める

$$E(X)=np=720\times \frac{1}{6}=120$$
$$V(X)=np(1-p)=720\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=100$$

よって、標準偏差は $\sigma (X)=\sqrt{100}=10$ である。

手順3：正規分布で近似する

$n=720$ は大きいので、$X$ は近似的に正規分布 $N(120,10^2)$ に従うとみなせる。

手順4：標準化する

$Z=\frac{X-120}{10}$ とおくと、$Z$ は近似的に標準正規分布 $N(0,1)$ に従う。

$X=130$ のとき $Z=\frac{130-120}{10}=1$ である。したがって
$$P(X\leqq 130)\fallingdotseq P(Z\leqq 1)$$

手順5：確率を計算する

標準正規分布は $Z=0$ に関して対称なので $P(Z\leqq 0)=0.5$ である。よって
$$P(Z\leqq 1)=P(Z\leqq 0)+P(0\leqq Z\leqq 1)=0.5+0.3413=0.8413$$

答えは $0.8413$ である。

$X$ は二項分布 $B(720,\frac{1}{6})$ に従う。平均は $720\times \frac{1}{6}=120$、分散は $720\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{6}=100$、標準偏差は $10$ である。$X$ の分布を正規分布 $N(120,10^2)$ で近似し、$Z=\frac{X-120}{10}$ とおくと $Z$ は近似的に $N(0,1)$ に従う。$X\leqq 130$ のとき $Z\leqq 1$ だから、$P(X\leqq 130)\approx P(Z\leqq 1)=0.5+P(0\leqq Z\leqq 1)=0.5+0.3413=0.8413$。