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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

1 個のさいころを $450$ 回投げるとき、 $3$ の倍数の目が出る回数を $X$ とする。 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。

ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、各回の試行は独立であるものとする。

この問題で使うもの

二項分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

$X$ が二項分布 $B (n, p)$ に従うことに注目しましょう。まず $n$ と $p$ を求めます。

ヒント 2

二項分布 $B (n, p)$ の分散は $V (X) = n p (1 - p)$ 、標準偏差は $σ (X) = V (X)$ です。

ヒント 3

$3$ の倍数の目は $3, 6$ なので $p = \frac{1}{3}$ 、 $n = 450$ です。これを $n p (1 - p)$ に代入して分散を計算しましょう。

答えと解説

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10

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解説を読む

手順 1： $X$ が従う二項分布を確かめる。

$3$ の倍数の目は $3$ と $6$ の $2$ 通りである。よって 1 回投げて $3$ の倍数の目が出る確率は
$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
である。この試行を独立に $450$ 回くり返すので、 $X$ は二項分布 $B (450, \frac{1}{3})$ に従う。

手順 2：分散を求める。

二項分布 $B (n, p)$ に従う確率変数の分散は $n p (1 - p)$ であるから
$V (X) = 450 \cdot \frac{1}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 450 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 100$

手順 3：標準偏差を求める。

$σ (X) = V (X) = 100 = 10$

答えは $10$ である。

別解

1回で3の倍数の目（3か6）が出る確率は $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。 $X$ は二項分布 $B (450, \frac{1}{3})$ に従う。
分散 $V (X) = n p (1 - p) = 450 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 100$ 。
よって標準偏差 $σ (X) = 100 = 10$ 。
検算：期待値 $E (X) = 150$ 、 $V (X) = 450 \cdot \frac{2}{9} = 100$ で一致する。

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