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統計的な推測

扱うテーマ: 確率変数と確率分布、期待値・分散・標準偏差、確率変数の和と積（独立な場合）、二項分布の期待値と分散

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

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難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $5$ 個の玉が入っている。この袋から同時に $3$ 個の玉を取り出し、取り出した赤玉の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求め、確率 $P (X ≧ 2)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $4$ 個、合わせて $7$ 個の玉が入っている。この袋から同時に $3$ 個の玉を取り出し、取り出した玉のうち赤玉の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を求め、それを用いて確率 $P (X ≧ 2)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $5$ 個の玉が入っている。この袋から同時に $3$ 個の玉を取り出し、取り出した赤玉の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の確率分布を調べ、確率 $P (X ≧ 2)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$3$ 枚の硬貨を同時に $1$ 回投げ、表が出た枚数を $X$ とする。確率変数 $Y = 4 X - 1$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
3 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $X$ とする。確率変数 $Y$ を $Y = 4 X - 3$ で定めるとき、 $Y$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1, 2, 3, 4$ の数字が $1$ つずつ書かれた正四面体のさいころがある。このさいころを $1$ 回投げ、底面に書かれた数を $X$ とする。確率変数 $Y = - 2 X + 5$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。ただし、どの面が底面になることも同様に確からしいものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
袋 A には $1, 3, 5$ の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードが、袋 B には $2, 4$ の数字が 1 つずつ書かれた 2 枚のカードが入っている。袋 A から無作為に 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、袋 B から無作為に 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $Y$ とする。2 つの袋からの取り出しは互いに影響しないものとする。このとき、確率変数 $X + Y$ の分散 $V (X + Y)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
箱の中に、 $2, 4, 6$ の数字が 1 つずつ書かれた 3 枚のカードが入っている。この箱から 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、これとは別に 1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $Y$ とする。カードを取り出す試行とさいころを投げる試行は独立であるとする。確率変数 $X + Y$ の分散 $V (X + Y)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1, 2, 3, 4$ の数字が $1$ つずつ書かれた $4$ 枚のカードが入った袋から $1$ 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $X$ とする。また、これとは別に $1$ 枚の硬貨を $1$ 回投げ、表が出たら $Y = 1$ 、裏が出たら $Y = 0$ とする。このとき、確率変数 $X + Y$ の分散 $V (X + Y)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
箱の中に、当たりくじが $2$ 本、はずれくじが $8$ 本入っている。この箱からくじを $1$ 本引き、当たりかはずれかを確認してから箱に戻す。この試行を $100$ 回繰り返し、当たりくじを引いた回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
当たりくじが $2$ 本入った $10$ 本のくじがある。この中から $1$ 本を引いて当たりかどうかを確認し、もとに戻す。この試行を $100$ 回繰り返し、当たりを引いた回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
当たりを引く確率が $\frac{1}{5}$ であるくじがある。このくじを $1$ 本引いて当たりかどうかを確かめ、もとに戻す。この試行を $100$ 回繰り返す。ただし、各回の試行は互いに独立であるとする。当たりを引いた回数を $X$ とするとき、確率変数 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
連続型確率変数 $X$ のとりうる値の範囲が $0 ≦ x ≦ 1$ で、その確率密度関数が
$f (x) = 2 x (0 ≦ x ≦ 1)$
であるとする。 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
確率変数 $X$ のとりうる値の範囲が $0 ≦ X ≦ 1$ で、その確率密度関数が
$f (x) = 3 x^{2} (0 ≦ x ≦ 1)$
であるとする。 $X$ の期待値 $E (X)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
確率変数 $X$ のとりうる値の範囲が $0 ≦ X ≦ 1$ で、その確率密度関数が
$f (x) = 2 x (0 ≦ x ≦ 1)$
であるとする。 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
1 個のさいころを 90 回投げるとき、3 の倍数の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 2 X - 5$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
1個のさいころを $90$ 回投げるとき、 $1$ の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 2 X + 5$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしいものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
連続型確率変数 $X$ のとり得る値の範囲が $0 ≦ x ≦ 2$ で、その確率密度関数が
$f (x) = \frac{x}{2} (0 ≦ x ≦ 2)$
であるとする。このとき、確率 $P (1 ≦ X ≦ 2)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
1 個のさいころを $450$ 回投げるとき、 $3$ の倍数の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 3 X - 100$ の標準偏差 $σ (Y)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、各回の試行は互いに独立であるものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
1 個のさいころを $720$ 回投げるとき、 $1$ の目が出る回数を $X$ とする。 $X$ の分布を正規分布で近似して、確率 $P (X ≦ 130)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしいものとする。また、 $Z$ が標準正規分布 $N (0, 1)$ に従うとき、 $P (0 ≦ Z ≦ 1) = 0.3413$ であることを用いてよい。
難易度 1（教科書の例題レベル）
1 個のさいころを $450$ 回投げるとき、 $3$ の倍数の目が出る回数を $X$ とする。 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。
ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、各回の試行は独立であるものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
母平均 $60$ 、母標準偏差 $15$ の母集団から、大きさ $25$ の無作為標本を復元抽出する。この標本の標本平均を $X ˉ$ とするとき、 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
母平均 $50$ 、母標準偏差 $8$ の母集団から、大きさ $16$ の無作為標本を復元抽出する。このときの標本平均 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある工場で作られる菓子の袋の重さを母集団とする。母平均は $200 g$ 、母標準偏差は $15 g$ である。この母集団から大きさ $25$ の無作為標本を抽出し、その標本平均を $X ˉ$ とする。 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ は何 g か。数値で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に、数字 $1$ が書かれた札が $1$ 枚、数字 $2$ が書かれた札が $2$ 枚、数字 $3$ が書かれた札が $1$ 枚、合計 $4$ 枚の札が入っている。この $4$ 枚の札を母集団とし、札に書かれた数字を変量とする。この袋から札を $1$ 枚取り出して数字を記録し、袋に戻すという操作を $8$ 回くり返す。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $X$ とするとき、 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。ただし、どの札も取り出される確率は等しいものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
袋の中に、 $1, 2, 3, 4, 5$ の数字が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが入っている。この 5 枚のカードを母集団とし、カードに書かれた数字を変量とする。この袋から 1 枚取り出して数字を記録し、袋に戻すことを $8$ 回くり返す（復元抽出）。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $X ˉ$ とするとき、 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ。ただし、どのカードを取り出すことも同様に確からしいものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある工場で作られている菓子袋の重さを母集団とする。この母集団の母平均は $250 g$ 、母標準偏差は $6 g$ である。この母集団から大きさ $36$ の標本を無作為に抽出し、その標本平均を $X ˉ$ とする。標本平均 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ（単位は $g$ とし、答えには単位を付けなくてよい）。ただし、母集団の大きさは標本の大きさに比べて十分大きく、抽出は復元抽出とみなしてよいものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ 個のさいころを $5$ 回投げ、 $3$ の倍数の目が出る回数を $X$ とする。確率 $P (X ≧ 4)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ 個のさいころを $180$ 回投げ、 $1$ の目が出た回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、各回の結果は互いに独立であるとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ 個のさいころを $5$ 回投げ、 $1$ の目が出た回数を $X$ とする。確率 $P (X ≧ 4)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある植物の種子は、1 個まくと確率 $\frac{4}{5}$ で発芽する。この種子を $100$ 個まくとき、発芽する種子の個数を $X$ とする。ただし、各種子が発芽するかどうかは互いに独立であるとする。
$X$ の期待値を $m$ 、標準偏差を $σ$ とする。 $X$ の分布を正規分布 $N (m, σ^{2})$ で近似し、 $Z = \frac{X - m}{σ}$ とおく。このとき
$P (76 ≦ X ≦ c) = P (- 1 ≦ Z ≦ 2)$
が成り立つような実数 $c$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある植物の種子は、1 粒まいたときに発芽する確率が $0.8$ である。この種子を $100$ 粒まき、発芽する種子の個数を $X$ とする。 $X$ の分布を正規分布で近似して、確率 $P (72 ≦ X ≦ 88)$ を求めよ。ただし、各種子が発芽するかどうかは互いに独立であるとする。また、 $Z$ が標準正規分布 $N (0, 1)$ に従うとき、 $P (0 ≦ Z ≦ 2) = 0.4772$ であることを用いよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある種の種子は、1 個まいたときに発芽する確率が $0.8$ である。この種子を $50$ 個まき、発芽する個数を $X$ とする。各種子が発芽するかどうかは互いに独立であるとする。確率変数 $Y$ を $Y = 3 X - 10$ と定めるとき、 $Y$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ から $6$ までの目が同様に確からしく出る $1$ 個のさいころを、 $180$ 回続けて投げる。各回の投げ方は互いに独立であるとする。このとき、 $3$ の倍数の目（すなわち $3$ または $6$ の目）が出る回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
ある工場で作られる菓子袋の重さを母集団とする。母平均は $250 g$ 、母標準偏差は $10 g$ である。この母集団から大きさ $400$ の標本を無作為に抽出し、その標本平均を $X ˉ$ とする。 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ の値（単位は $g$ ）を求めよ。ただし、母集団の大きさは標本の大きさに比べて十分大きく、抽出は復元抽出とみなしてよいものとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
箱の中に、 $1, 2, 3, 4, 5$ の数字が 1 つずつ書かれたカードが 1 枚ずつ、合計 $5$ 枚入っている。この箱を母集団とし、カードに書かれた数字を変量とする。この箱からカードを $1$ 枚取り出して数字を記録し、もとに戻すことを $8$ 回くり返す（復元抽出）。記録した $8$ 個の数字の標本平均を $X ˉ$ とするとき、 $X ˉ$ の標準偏差 $σ (X ˉ)$ を求めよ。ただし、どのカードが取り出されることも同様に確からしいとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
1 個のさいころを 30 回投げ、1 の目が出た回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 3 X + 2$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、さいころを投げる各回の結果は互いに独立であるとする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
表と裏の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ である硬貨を $8$ 回投げ、表の出た回数を $X$ とする。各回の結果は互いに影響しないものとする。
確率 $P (X ≧ 6)$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$1$ 個のさいころを $6$ 回投げ、 $3$ の倍数の目が出た回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 2 X - 1$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
1 個のさいころを 1 回投げて出た目を $X$ とする。また、これとは別に 2 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $Y$ とする。このとき、確率変数 $X Y$ の分散 $V (X Y)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に $1$ から $6$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数のうち小さい方を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を $n$ 回繰り返す（ $n$ は正の整数）。赤玉が出た回数を $X$ とする。 $X$ の分散が $V (X) = 6$ であるとき、 $X^{2}$ の期待値 $E (X^{2})$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
1 から 5 までの整数が 1 つずつ書かれた 5 枚のカードが袋に入っている。この袋から同時に 2 枚のカードを取り出し、書かれた 2 つの数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $Y = - 3 X + 7$ の標準偏差 $σ (Y)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
1 個のさいころを投げて出た目を $X$ とする。また、 $1, 2, 2, 3$ の数字が 1 つずつ書かれた 4 枚のカードが入った袋から 1 枚のカードを取り出し、そのカードに書かれた数を $Y$ とする。さいころを投げる試行とカードを取り出す試行は互いに独立であるとする。このとき、確率変数 $X Y$ の分散 $V (X Y)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $3$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個取り出し、色を確認してから袋に戻す。この試行を $25$ 回繰り返す。赤玉を取り出すたびに $3$ 点を得て、白玉を取り出すたびに $1$ 点を失う。 $25$ 回の試行を終えたときの合計得点を $Y$ とする（ $Y$ は負の値もとりうる）。このとき、 $Y^{2}$ の期待値 $E (Y^{2})$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に、 $1$ から $6$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数のうち大きい方を $X$ とする。確率変数 $Y = 3 X + 1$ の標準偏差 $σ (Y)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$1$ から $6$ までの数字が 1 つずつ書かれた $6$ 枚のカードが袋に入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた $2$ つの数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
1 個のさいころを 1 回投げて出た目を $X$ とする。これとは別に 1 枚の硬貨を 2 回投げ、表が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $X Y$ の分散 $V (X Y)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
1 個のさいころを $n$ 回投げるゲームを行う。1 回投げるごとに、3 の倍数の目が出たら得点に $3$ 点を加え、それ以外の目が出たら得点から $1$ 点を引く（得点のはじめの値は $0$ 点とする）。 $n$ 回投げ終えたときの得点を $S$ とする。 $S$ の分散が $320$ であるとき、 $S^{2}$ の期待値 $E (S^{2})$ を求めよ。ただし、 $n$ は正の整数とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
袋の中に、 $1$ と書かれたカードが $1$ 枚、 $2$ と書かれたカードが $2$ 枚、 $3$ と書かれたカードが $3$ 枚、合わせて $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数の和を $X$ とする。確率変数 $Y = 3 X - 5$ の標準偏差 $σ (Y)$ を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
1 から 6 までの数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが箱に入っている。この箱から 2 枚のカードを同時に取り出し、2 枚に書かれた数の差（大きい方から小さい方を引いた値）を $X$ とする。確率変数 $3 X - 1$ の分散 $V (3 X - 1)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
数直線上の原点に点 $P$ がある。1 個のさいころを投げ、3 の倍数の目が出たら $P$ を正の向きに $3$ だけ動かし、それ以外の目が出たら $P$ を負の向きに $1$ だけ動かす。この操作を $36$ 回繰り返した後の $P$ の座標を $Z$ とする。確率変数 $Z^{2}$ の期待値 $E (Z^{2})$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
箱の中に $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この箱から同時に 2 枚のカードを取り出し、取り出したカードに書かれた数のうち大きい方を $X$ とする。確率変数 $Y = 3 X + 1$ の標準偏差 $σ (Y)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $X$ とする。また、これとは別に 2 枚の硬貨を同時に 1 回投げ、表が出た枚数を $Y$ とする。このとき、得点 $Z$ を
$Z = X (Y + 1)$
と定める。確率変数 $Z$ の分散 $V (Z)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
袋の中に $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の数字が 1 つずつ書かれた 6 枚のカードが入っている。この袋から同時に 2 枚のカードを取り出し、取り出した 2 枚のカードに書かれた数のうち大きい方から小さい方を引いた値を $D$ とする。さらに、得点 $Y$ を $Y = 3 D + 2$ で定める。確率変数 $Y$ の標準偏差を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
袋の中に、 $1$ と書かれたカードが $1$ 枚、 $2$ と書かれたカードが $2$ 枚、 $3$ と書かれたカードが $3$ 枚、合計 $6$ 枚のカードが入っている。この袋から同時に $2$ 枚のカードを取り出し、取り出した $2$ 枚に書かれた数の差の絶対値を $X$ とする。確率変数 $Y = 5 X + 1$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
袋の中に赤玉が $4$ 個、白玉が $2$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さず、白玉がはじめて取り出された時点で操作を終える。操作を終えるまでに取り出した玉の個数（最後に取り出した白玉も含める）を $X$ とする。確率変数 $3 X + 2$ の標準偏差 $σ (3 X + 2)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
箱の中に赤玉が $2$ 個、白玉が $4$ 個、合わせて $6$ 個の玉が入っている。この箱から玉を $1$ 個ずつ取り出していき（取り出した玉は箱に戻さない）、 $2$ 個目の赤玉が取り出された時点で操作を終了する。終了するまでに取り出した玉の個数（ $2$ 個目の赤玉も含む）を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
表が出る確率が $p$ である硬貨がある。ただし、 $p$ は $0 < p < 1$ を満たす定数とする。この硬貨を $n$ 回投げ、表が出るたびに得点を $1$ 点加え、裏が出るたびに得点から $1$ 点を引く（得点のはじめの値は $0$ 点とする）。ただし、 $n$ は正の整数とする。 $n$ 回投げ終えたときの得点を $S$ とする。確率変数 $S$ の期待値が $12$ 、分散が $45$ であるとき、 $n$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
1 個のさいころを 1 回投げ、出た目を $3$ で割った余りを $X$ とする。また、これとは別に 1 枚の硬貨を $3$ 回投げ、表が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $Z$ を
$Z = X Y + X - Y$
と定めるとき、 $Z$ の分散 $V (Z)$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、 $n$ は正の整数とする。 $n$ 回のうち $3$ の倍数の目が出た回数を $X$ とし、確率変数 $Y$ を $Y = X \cdot 2^{X}$ で定める。 $Y$ の分散 $V (Y)$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ を $2$ 以上の整数とする。 $1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを無作為に横一列に並べる。 $1 ≦ i ≦ n - 1$ を満たす整数 $i$ のうち、 $i$ と書かれたカードと $i + 1$ と書かれたカードが隣り合っている（順序は問わない）ものの個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を $n$ の式で表せ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は $2$ 以上の整数とする。 $1$ から $n$ までの整数が $1$ つずつ書かれた $n$ 枚のカードを、無作為に横一列に並べる。左から $k$ 番目のカードに書かれた数を $a_{k}$ $(k = 1, 2, \dots, n)$ とし、 $1 ≦ k ≦ n - 1$ を満たす整数 $k$ のうち $a_{k + 1} = a_{k} + 1$ となるものの個数を $X$ とする（例えば、 $n = 5$ で $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}) = (3, 4, 5, 1, 2)$ のとき $X = 3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
表と裏が出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ の硬貨を $n$ 回投げる。ただし $n$ は正の整数とする。 $k = 1, 2, \dots, n$ に対して、 $k$ 回目に表が出たとき $X_{k} = 1$ 、裏が出たとき $X_{k} = 2$ と定める。
$S = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}, T = X_{1} X_{2} \dots X_{n}$
とおくとき、確率変数 $S^{2} T$ の期待値 $E (S^{2} T)$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1個のさいころを $n$ 回投げるゲームを行う。ただし、 $n$ は正の整数とする。1回投げるごとに、3の倍数の目が出れば得点が $4$ 点増え、それ以外の目が出れば得点が $1$ 点減る。得点は最初 $0$ 点である。 $n$ 回投げ終えたときの得点を $S$ とする。
$n$ を動かすとき、 $E ((S - 10)^{2})$ の最小値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、 $n$ は正の整数とする。 $n$ 回のうちに少なくとも $1$ 回出た目の種類の数を $X$ とする（たとえば $n = 4$ で出た目が順に $2, 5, 2, 6$ のとき $X = 3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、 $n$ は正の整数とする。 $n$ 回のうち $1$ の目が出た回数を $X$ 、偶数の目が出た回数を $Y$ とする。確率変数 $X Y$ の期待値 $E (X Y)$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
袋の中に赤玉が $3$ 個、白玉が $4$ 個入っている。この袋から玉を $1$ 個ずつ取り出す。取り出した玉は袋に戻さない。この操作を $7$ 個の玉をすべて取り出すまで続ける。 $k = 1, 2, \dots, 6$ のうち、 $k$ 番目に取り出した玉と $(k + 1)$ 番目に取り出した玉の色が異なるような $k$ の個数を $X$ とする。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを $n$ 回投げる。ただし、 $n$ は正の整数とする。 $n$ 回のうちに少なくとも $1$ 回出た目の種類の数を $X$ とする（例えば、 $n = 4$ で出た目が順に $3, 5, 3, 1$ のとき $X = 3$ である）。確率変数 $X$ の分散 $V (X)$ を $n$ の式で表せ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
1 個のさいころを $n + 1$ 回投げる。ただし、 $n$ は正の整数とする。 $k = 1, 2, \dots, n + 1$ に対して、 $k$ 回目に出た目を $3$ で割った余りを $X_{k}$ とする。確率変数 $S$ を
$S = X_{1} X_{2} + X_{2} X_{3} + X_{3} X_{4} + \dots + X_{n} X_{n + 1} = k = 1 \sum n X_{k} X_{k + 1}$
で定めるとき、 $S$ の分散 $V (S)$ を $n$ の式で求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$m$ は正の整数とする。表と裏が出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ の硬貨を $2 m$ 回投げ、表が出た回数と裏が出た回数の差の絶対値を $D$ とする。確率変数 $D$ の分散 $V (D)$ を $m$ の式で求めよ。