統計的な推測の問題

2 枚のカードの取り出し方は全部で ${}_5{\mathrm{C}}_2=10$ 通りあり、どれも同様に確からしい。

差の絶対値 $X$ のとりうる値は $1,2,3,4$ である。
- $X=1$: $\{1,2\},\{2,3\},\{3,4\},\{4,5\}$ の 4 通り
- $X=2$: $\{1,3\},\{2,4\},\{3,5\}$ の 3 通り
- $X=3$: $\{1,4\},\{2,5\}$ の 2 通り
- $X=4$: $\{1,5\}$ の 1 通り

よって $P(X=1)=\frac{4}{10},P(X=2)=\frac{3}{10},P(X=3)=\frac{2}{10},P(X=4)=\frac{1}{10}$ である。

期待値は
$$E(X)=1\cdot \frac{4}{10}+2\cdot \frac{3}{10}+3\cdot \frac{2}{10}+4\cdot \frac{1}{10}=\frac{4+6+6+4}{10}=2$$

$X^2$ の期待値は
$$E(X^2)=1\cdot \frac{4}{10}+4\cdot \frac{3}{10}+9\cdot \frac{2}{10}+16\cdot \frac{1}{10}=\frac{4+12+18+16}{10}=5$$

したがって分散は
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=5-2^2=1$$
となり、$\sigma (X)=\sqrt{1}=1$ である。

$Y=-3X+7$ について、$\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$ より
$$\sigma (Y)=|-3|\cdot \sigma (X)=3\cdot 1=3$$

答えは $3$ である。

5枚から2枚を選ぶ組合せは $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 通り。差の絶対値 $X$ の分布は、$X=1$ が4通り、$X=2$ が3通り、$X=3$ が2通り、$X=4$ が1通り。

$E(X)=\frac{1\cdot 4+2\cdot 3+3\cdot 2+4\cdot 1}{10}=\frac{20}{10}=2$

$E(X^2)=\frac{1\cdot 4+4\cdot 3+9\cdot 2+16\cdot 1}{10}=\frac{50}{10}=5$

$V(X)=5-2^2=1$ なので $\sigma (X)=1$。

$Y=-3X+7$ より $\sigma (Y)=|-3|\sigma (X)=3$。

検算：$Y$ の値は 4, 1, -2, -5 で確率は 0.4, 0.3, 0.2, 0.1。$E(Y)=1.6+0.3-0.4-0.5=1$（$-3\cdot 2+7=1$ と一致）。$E(Y^2)=0.4\cdot 16+0.3\cdot 1+0.2\cdot 4+0.1\cdot 25=6.4+0.3+0.8+2.5=10$。$V(Y)=10-1=9$ で $\sigma (Y)=3$。