統計的な推測の問題

$X$ の確率分布

$6$ 枚から $2$ 枚を取り出す方法は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りで、これらは同様に確からしい。

$X=k$（$k=2,3,4,5,6$）となるのは、$k$ のカードと、$1$ から $k-1$ までのカードのうち $1$ 枚を取り出す場合なので $k-1$ 通りである。よって
$$P(X=k)=\frac{k-1}{15}(k=2,3,4,5,6)$$
すなわち $P(X=2)=\frac{1}{15},P(X=3)=\frac{2}{15},P(X=4)=\frac{3}{15},P(X=5)=\frac{4}{15},P(X=6)=\frac{5}{15}$ である（確率の和は $\frac{15}{15}=1$）。

期待値
$$E(X)=\frac{2\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5}{15}=\frac{2+6+12+20+30}{15}=\frac{70}{15}=\frac{14}{3}$$

分散
$$E(X^2)=\frac{4\cdot 1+9\cdot 2+16\cdot 3+25\cdot 4+36\cdot 5}{15}=\frac{4+18+48+100+180}{15}=\frac{350}{15}=\frac{70}{3}$$
よって
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{70}{3}-\frac{196}{9}=\frac{210-196}{9}=\frac{14}{9}$$

$Y=3X+1$ の標準偏差

$V(aX+b)=a^{2}V(X)$ より
$$V(Y)=3^2\cdot \frac{14}{9}=14$$
したがって
$$\sigma (Y)=\sqrt{14}$$

2枚の取り出し方は ${}_6{C}_2=15$ 通り。大きい方が $k$ になる取り出し方は $k-1$ 通りなので、$P(X=k)=\frac{k-1}{15}$ ($k=2,\dots ,6$)。

$E(X)=\frac{2\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5}{15}=\frac{70}{15}=\frac{14}{3}$

$E(X^2)=\frac{4\cdot 1+9\cdot 2+16\cdot 3+25\cdot 4+36\cdot 5}{15}=\frac{350}{15}=\frac{70}{3}$

$V(X)=\frac{70}{3}-{\left(\frac{14}{3}\right)}^2=\frac{210-196}{9}=\frac{14}{9}$

$V(Y)=3^{2}V(X)=14$ なので、$\sigma (Y)=\sqrt{14}$。

検算：確率の和は $(1+2+3+4+5)/15=1$ で正しい。