統計的な推測の問題

$D$ の確率分布

2 枚の取り出し方は全部で ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

差が $d$（$d=1,2,3,4,5$）となる組は、小さい方を $k$ とすると大きい方は $k+d$ である。$k+d\leqq 6$ より $k=1,2,\dots ,6-d$ なので、$6-d$ 通りある。よって
$$P(D=d)=\frac{6-d}{15}(d=1,2,3,4,5)$$
となり、各確率は $d=1,2,3,4,5$ の順に $\frac{5}{15},\frac{4}{15},\frac{3}{15},\frac{2}{15},\frac{1}{15}$ である（合計 $\frac{15}{15}=1$）。

$D$ の期待値
$$E(D)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{15}=\frac{5+8+9+8+5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$$

$D^2$ の期待値
$$E(D^2)=\frac{1\cdot 5+4\cdot 4+9\cdot 3+16\cdot 2+25\cdot 1}{15}=\frac{5+16+27+32+25}{15}=\frac{105}{15}=7$$

$D$ の分散
$$V(D)=E(D^2)-\{E(D){\}}^2=7-\frac{49}{9}=\frac{14}{9}$$

$Y$ の標準偏差

$Y=3D+2$ より $V(Y)=3^{2}V(D)=9\cdot \frac{14}{9}=14$ である。したがって
$$\sigma (Y)=\sqrt{V(Y)}=\sqrt{14}$$

（$\sigma (Y)=|3|\sigma (D)=3\cdot \frac{\sqrt{14}}{3}=\sqrt{14}$ と求めてもよい。）

2枚の取り出し方は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 通り。差 $D=k$ となる組は $6-k$ 通りなので、$D=1,2,3,4,5$ の度数は $5,4,3,2,1$。

$E[D]=(1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1)/15=35/15=7/3$。

$E[D^2]=(1\cdot 5+4\cdot 4+9\cdot 3+16\cdot 2+25\cdot 1)/15=105/15=7$。

$V(D)=7-(7/3{)}^2=7-49/9=14/9$。

$V(Y)=9V(D)=14$ なので、標準偏差は $\sqrt{14}$。

検算：$Y$ は $5,8,11,14,17$ で度数 $5,4,3,2,1$。$E[Y]=3\cdot 7/3+2=9$。$E[Y^2]=(25\cdot 5+64\cdot 4+121\cdot 3+196\cdot 2+289)/15=(125+256+363+392+289)/15=1425/15=95$。$V=95-81=14$ で一致。