統計的な推測の問題

2 枚の取り出し方は全部で ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

$X$ のとりうる値は $1,2,3,4,5$ である。差が $k$ となる組は $\{1,1+k\},\{2,2+k\},\dots ,\{6-k,6\}$ の $6-k$ 通りあるから、
$$P(X=k)=\frac{6-k}{15}(k=1,2,3,4,5)$$
となる。すなわち、$P(X=1)=\frac{5}{15}$, $P(X=2)=\frac{4}{15}$, $P(X=3)=\frac{3}{15}$, $P(X=4)=\frac{2}{15}$, $P(X=5)=\frac{1}{15}$ である（合計は $\frac{15}{15}=1$）。

期待値は
$$E(X)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{15}=\frac{5+8+9+8+5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$$
である。

また
$$E(X^2)=\frac{1\cdot 5+4\cdot 4+9\cdot 3+16\cdot 2+25\cdot 1}{15}=\frac{5+16+27+32+25}{15}=\frac{105}{15}=7$$
である。

よって
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=7-\frac{49}{9}=\frac{14}{9}$$
となる。

$a,b$ を定数とするとき $V(aX+b)=a^{2}V(X)$ が成り立つから、
$$V(3X-1)=3^2\cdot \frac{14}{9}=14$$
である。

2枚の取り出し方は ${}_6{C}_2=15$ 通り。差 $X$ が $k$ となる組は $6-k$ 通りなので、$P(X=1)=5/15$、$P(X=2)=4/15$、$P(X=3)=3/15$、$P(X=4)=2/15$、$P(X=5)=1/15$。

$E(X)=(5\cdot 1+4\cdot 2+3\cdot 3+2\cdot 4+1\cdot 5)/15=35/15=7/3$。

$E(X^2)=(5\cdot 1+4\cdot 4+3\cdot 9+2\cdot 16+1\cdot 25)/15=(5+16+27+32+25)/15=105/15=7$。

$V(X)=7-(7/3{)}^2=7-49/9=14/9$。

よって $V(3X-1)=9V(X)=9\cdot 14/9=14$。

検算：偏差の2乗の平均を直接計算すると、平均 $7/3$ からの偏差の2乗は $k=1$: $16/9$、$k=2$: $1/9$、$k=3$: $4/9$、$k=4$: $25/9$、$k=5$: $64/9$。重み付き和は $(5\cdot 16+4\cdot 1+3\cdot 4+2\cdot 25+1\cdot 64)/(9\cdot 15)=(80+4+12+50+64)/135=210/135=14/9$。一致する。