統計的な推測の問題

$6$ 枚から $2$ 枚を取り出す方法は全部で ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

取り出した $2$ 数を $a<b$ とすると $X=b-a$ であり、$X$ のとりうる値は $1,2,3,4,5$ である。

• $X=1$: $(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)$ の $5$ 通り
• $X=2$: $(1,3),(2,4),(3,5),(4,6)$ の $4$ 通り
• $X=3$: $(1,4),(2,5),(3,6)$ の $3$ 通り
• $X=4$: $(1,5),(2,6)$ の $2$ 通り
• $X=5$: $(1,6)$ の $1$ 通り

よって $X$ の確率分布は
$$P(X=1)=\frac{5}{15},P(X=2)=\frac{4}{15},P(X=3)=\frac{3}{15},P(X=4)=\frac{2}{15},P(X=5)=\frac{1}{15}$$
である（合計は $\frac{15}{15}=1$）。

期待値は
$$E(X)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{15}=\frac{5+8+9+8+5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$$

$X^2$ の期待値は
$$E(X^2)=\frac{1\cdot 5+4\cdot 4+9\cdot 3+16\cdot 2+25\cdot 1}{15}=\frac{5+16+27+32+25}{15}=\frac{105}{15}=7$$

したがって
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=7-\frac{49}{9}=\frac{63-49}{9}=\frac{14}{9}$$

6枚から2枚を選ぶ組合せは $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 通り。差の絶対値 $X=k$ となる組は $6-k$ 通りなので、$X=1,2,3,4,5$ の度数はそれぞれ $5,4,3,2,1$。
確率は $P(X=k)=\frac{6-k}{15}$。
期待値は $E(X)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$。
$E(X^2)=\frac{1\cdot 5+4\cdot 4+9\cdot 3+16\cdot 2+25\cdot 1}{15}=\frac{5+16+27+32+25}{15}=\frac{105}{15}=7$。
分散は $V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=7-\frac{49}{9}=\frac{14}{9}$。
検算：偏差の2乗和 $\sum (k-7/3{)}^2(6-k)$ を計算すると、$k=1$: $(16/9)\cdot 5=80/9$、$k=2$: $(1/9)\cdot 4=4/9$、$k=3$: $(4/9)\cdot 3=12/9$、$k=4$: $(25/9)\cdot 2=50/9$、$k=5$: $(64/9)\cdot 1=64/9$。合計は $210/9$。これを15で割ると $14/9$ となり一致する。