統計的な推測の問題

2 枚のカードの取り出し方は全部で ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

$X=k$ $(k=2,3,4,5,6)$ となるのは、$k$ のカードと、$k$ より小さい数のカード 1 枚を取り出す場合で、その取り出し方は $k-1$ 通りである。よって
$$P(X=k)=\frac{k-1}{15}(k=2,3,4,5,6)$$
すなわち $P(X=2)=\frac{1}{15},P(X=3)=\frac{2}{15},P(X=4)=\frac{3}{15},P(X=5)=\frac{4}{15},P(X=6)=\frac{5}{15}$ である（確率の和は $\frac{15}{15}=1$）。

期待値は
$$E(X)=\frac{2\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5}{15}=\frac{2+6+12+20+30}{15}=\frac{70}{15}=\frac{14}{3}$$

$X^2$ の期待値は
$$E(X^2)=\frac{4\cdot 1+9\cdot 2+16\cdot 3+25\cdot 4+36\cdot 5}{15}=\frac{4+18+48+100+180}{15}=\frac{350}{15}=\frac{70}{3}$$

よって分散は
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{70}{3}-\frac{196}{9}=\frac{210-196}{9}=\frac{14}{9}$$

標準偏差は $\sigma (X)=\sqrt{\frac{14}{9}}=\frac{\sqrt{14}}{3}$ である。

$Y=3X+1$ について $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$ より
$$\sigma (Y)=3\cdot \frac{\sqrt{14}}{3}=\sqrt{14}$$

2枚の取り出し方は全部で ${}_6{C}_2=15$ 通り。$X=k$ となるのは、大きい方が $k$ で、もう1枚が $1,\dots ,k-1$ のどれかのとき。よって $P(X=k)=\frac{k-1}{15}$ $(k=2,\dots ,6)$。

$E(X)=\frac{2\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5}{15}=\frac{70}{15}=\frac{14}{3}$

$E(X^2)=\frac{4\cdot 1+9\cdot 2+16\cdot 3+25\cdot 4+36\cdot 5}{15}=\frac{350}{15}=\frac{70}{3}$

$V(X)=\frac{70}{3}-{\left(\frac{14}{3}\right)}^2=\frac{210-196}{9}=\frac{14}{9}$

$V(Y)=3^{2}V(X)=14$ より $\sigma (Y)=\sqrt{14}$。

検算：確率の和は $(1+2+3+4+5)/15=1$ で正しい。