統計的な推測の問題

赤玉は $4$ 個しかないので、遅くとも $5$ 個目には白玉が出ます。よって $X$ のとりうる値は $1,2,3,4,5$ です。

確率分布

$X=k$ となるのは、$1$ 個目から $k-1$ 個目までがすべて赤玉で、$k$ 個目が白玉のときです。

$$P(X=1)=\frac{2}{6}=\frac{5}{15}$$
$$P(X=2)=\frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{15}$$
$$P(X=3)=\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}=\frac{1}{5}=\frac{3}{15}$$
$$P(X=4)=\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{15}$$
$$P(X=5)=\frac{4}{6}\cdot \frac{3}{5}\cdot \frac{2}{4}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{2}=\frac{1}{15}$$

確率の和は $\frac{5+4+3+2+1}{15}=1$ となり、確かに確率分布になっています。

期待値

$$E(X)=\frac{1\cdot 5+2\cdot 4+3\cdot 3+4\cdot 2+5\cdot 1}{15}=\frac{5+8+9+8+5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$$

分散

$$E(X^2)=\frac{1\cdot 5+4\cdot 4+9\cdot 3+16\cdot 2+25\cdot 1}{15}=\frac{5+16+27+32+25}{15}=\frac{105}{15}=7$$

したがって

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=7-\frac{49}{9}=\frac{14}{9}$$

となり、標準偏差は

$$\sigma (X)=\sqrt{\frac{14}{9}}=\frac{\sqrt{14}}{3}$$

です。

$3X+2$ の標準偏差

定数 $a,b$ に対して $\sigma (aX+b)=|a|\sigma (X)$ が成り立つので、

$$\sigma (3X+2)=3\cdot \frac{\sqrt{14}}{3}=\sqrt{14}$$

となります。

白玉2個の位置を6か所から選ぶ方法は $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 通りである。$X=k$ となるのは、$k$ 番目が白玉で、残りの白玉が $k+1$ 番目以降の $6-k$ か所のいずれかにあるときなので、$P(X=k)=\frac{6-k}{15}$（$k=1,\dots ,5$）となる。

確率は $k=1,2,3,4,5$ の順に $\frac{5}{15},\frac{4}{15},\frac{3}{15},\frac{2}{15},\frac{1}{15}$ で、合計は $1$ になる。

$E(X)=\frac{5+8+9+8+5}{15}=\frac{35}{15}=\frac{7}{3}$

$E(X^2)=\frac{5+16+27+32+25}{15}=\frac{105}{15}=7$

$V(X)=7-\frac{49}{9}=\frac{14}{9}$

$V(3X+2)=9V(X)=14$ なので、$\sigma (3X+2)=\sqrt{14}$ となる。