統計的な推測の問題

$k=1,2,\dots ,6$ に対して、確率変数 $I_k$ を次のように定める。$k$ 番目と $(k+1)$ 番目の玉の色が異なるとき $I_k=1$、同じとき $I_k=0$ とする。このとき $X=I_1+I_2+\cdots +I_6$ である。

玉を取り出す順序は $7!$ 通りあり、どれも同様に確からしい。どの位置の玉についても、確率は位置によらず同じ形で計算できる。

期待値 $k$ 番目と $(k+1)$ 番目の色が異なる確率を求める。この $2$ 個の色の並びは「赤・白」または「白・赤」である。
$$P(I_k=1)=\frac{3\cdot 4}{7\cdot 6}+\frac{4\cdot 3}{7\cdot 6}=\frac{24}{42}=\frac{4}{7}$$
よって $E(I_k)=\frac{4}{7}$ であり、
$$E(X)=6\cdot \frac{4}{7}=\frac{24}{7}$$

$E(X^2)$ $I_k^2=I_k$ であるから、
$$X^2=\sum _{k=1}^6{I}_k+2\sum _{i<j}{I}_i{I}_j$$
である。$I_i{I}_j=1$ となるのは、$I_i=1$ かつ $I_j=1$ のときである。

(i) $j=i+1$ のとき（隣接する組。$5$ 組ある）
$i,i+1,i+2$ 番目の色の並びは「赤白赤」または「白赤白」である。
$$P=\frac{3\cdot 4\cdot 2}{7\cdot 6\cdot 5}+\frac{4\cdot 3\cdot 3}{7\cdot 6\cdot 5}=\frac{24+36}{210}=\frac{2}{7}$$

(ii) $j\geqq i+2$ のとき（${}_6{\mathrm{C}}_2-5=10$ 組ある）
$i,i+1,j,j+1$ 番目は異なる $4$ つの位置である。$2$ つの組それぞれで色が異なる並び方は $2\times 2=4$ 通りある。どの並び方も赤 $2$ 個・白 $2$ 個からなるので、$1$ 通りあたりの確率は
$$\frac{3\cdot 2\cdot 4\cdot 3}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}=\frac{72}{840}=\frac{3}{35}$$
である。したがって $P=4\cdot \frac{3}{35}=\frac{12}{35}$ となる。

よって
$$\sum _{i<j}E(I_i{I}_j)=5\cdot \frac{2}{7}+10\cdot \frac{12}{35}=\frac{10}{7}+\frac{24}{7}=\frac{34}{7}$$
であり、
$$E(X^2)=\frac{24}{7}+2\cdot \frac{34}{7}=\frac{92}{7}$$

分散
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{92}{7}-\frac{576}{49}=\frac{644-576}{49}=\frac{68}{49}$$

（検算）赤 $3$ 個・白 $4$ 個の色の並びは ${}_7{\mathrm{C}}_3=35$ 通りあり、どれも同様に確からしい。$X=1,2,3,4,5,6$ となる並びの数を数えると、順に $2,5,12,9,6,1$ 通りになる。これを用いると
$$E(X)=\frac{120}{35}=\frac{24}{7},E(X^2)=\frac{460}{35}=\frac{92}{7}$$
となり、上の結果と一致する。

答え: $V(X)=\frac{68}{49}$

$I_k$ を、$k$ 番目と $(k+1)$ 番目の玉の色が異なるとき $1$、そうでないとき $0$ とする確率変数とし、$X={\sum }_{k=1}^6{I}_k$ とおく。

【1つの $I_k$】
$P(I_k=1)=2\cdot \frac{3}{7}\cdot \frac{4}{6}=\frac{4}{7}$。
$E[I_k]=\frac{4}{7}$、$V(I_k)=\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{7}=\frac{12}{49}$。
$6$ 個の合計は $6\cdot \frac{12}{49}=\frac{72}{49}$。

【隣り合う $I_k,I_{k+1}$（組は $5$ 個）】
$I_k=I_{k+1}=1$ となるのは、$k,k+1,k+2$ 番目の色が赤白赤または白赤白のとき。
$P(\text{赤白赤})=\frac{3}{7}\cdot \frac{4}{6}\cdot \frac{2}{5}=\frac{4}{35}$、$P(\text{白赤白})=\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}\cdot \frac{3}{5}=\frac{6}{35}$。
合わせて $\frac{10}{35}=\frac{2}{7}$。
$\mathrm{Cov}=\frac{2}{7}-\frac{16}{49}=-\frac{2}{49}$。

【隣り合わない $I_i,I_j$（$j\ge i+2$、組は $15-5=10$ 個）】
$i,i+1,j,j+1$ 番目は相異なる $4$ 個の位置である。
各組が赤白か白赤になるので、赤がちょうど $2$ 個の列で、列の選び方は $2\cdot 2=4$ 通り。
各列の確率は $\frac{3\cdot 2\cdot 4\cdot 3}{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4}=\frac{3}{35}$。
よって $P(I_i=I_j=1)=\frac{12}{35}$。
$\mathrm{Cov}=\frac{12}{35}-\frac{16}{49}=\frac{84-80}{245}=\frac{4}{245}$。

【分散】
$V(X)=\frac{72}{49}+2\left(5\cdot \left(-\frac{2}{49}\right)+10\cdot \frac{4}{245}\right)=\frac{72}{49}+2\left(-\frac{10}{49}+\frac{8}{49}\right)=\frac{72}{49}-\frac{4}{49}=\frac{68}{49}$。

（検算：$E[X]=6\cdot \frac{4}{7}=\frac{24}{7}$。分散の各項の計算を再確認し、上の値になることを確かめた。）