統計的な推測の問題

手順1：$X$ のとりうる値を調べる

白玉は $2$ 個しかないので、$3$ 個取り出すと赤玉は少なくとも $1$ 個含まれます。また赤玉は $3$ 個なので、$X$ のとりうる値は $X=1,2,3$ です。

手順2：根元事象の総数を数える

$5$ 個の玉はすべて区別して考えます。$5$ 個から $3$ 個を選ぶ選び方は
$${}_5{\mathrm{C}}_3=10(\text{通り})$$
で、これらは同様に確からしいです。

手順3：それぞれの値をとる場合の数と確率を求める

• $X=1$（赤 $1$ 個・白 $2$ 個）：${}_3{\mathrm{C}}_1\times {}_2{\mathrm{C}}_2=3\times 1=3$ 通り。確率は $\frac{3}{10}$
• $X=2$（赤 $2$ 個・白 $1$ 個）：${}_3{\mathrm{C}}_2\times {}_2{\mathrm{C}}_1=3\times 2=6$ 通り。確率は $\frac{6}{10}$
• $X=3$（赤 $3$ 個）：${}_3{\mathrm{C}}_3=1$ 通り。確率は $\frac{1}{10}$

手順4：確率分布の表にまとめ、和が $1$ になることを確かめる

$$\begin{array}{ccccc}X& 1& 2& 3& \text{計}\\ P& \frac{3}{10}& \frac{6}{10}& \frac{1}{10}& 1\end{array}$$

$\frac{3}{10}+\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{10}{10}=1$ となり、確率の和が $1$ であることが確かめられます。

手順5：$P(X\geqq 2)$ を求める

$X\geqq 2$ となるのは $X=2$ または $X=3$ のときで、これらは同時には起こらないので
$$P(X\geqq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10}$$

（確認：余事象を使うと $1-P(X=1)=1-\frac{3}{10}=\frac{7}{10}$ となり一致します。）

5個から3個を同時に取り出す方法は ${}_5{\mathrm{C}}_3=10$ 通り。赤玉の個数 $X$ のとり得る値は、白玉が2個しかないので $1,2,3$。

$X=1$: 赤1個、白2個。${}_3{\mathrm{C}}_1\cdot {}_2{\mathrm{C}}_2=3$ 通りなので $P(X=1)=\frac{3}{10}$。
$X=2$: 赤2個、白1個。${}_3{\mathrm{C}}_2\cdot {}_2{\mathrm{C}}_1=6$ 通りなので $P(X=2)=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$。
$X=3$: 赤3個。${}_3{\mathrm{C}}_3=1$ 通りなので $P(X=3)=\frac{1}{10}$。

確率分布は $X=1,2,3$ に対して確率が $\frac{3}{10},\frac{3}{5},\frac{1}{10}$。
検算: $3+6+1=10$ なので合計は $1$。

$P(X\geqq 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{6}{10}+\frac{1}{10}=\frac{7}{10}$。