統計的な推測の問題

$6$ 個の玉をすべて順に取り出したと考え、$1$ 番目から $6$ 番目までの並びを考える。赤玉 $2$ 個が入る位置の組は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあり、これらは同様に確からしい。

$X$ は $2$ 個目の赤玉が出る位置なので、$X$ のとりうる値は $2,3,4,5,6$ である。$X=k$ となるのは、$2$ 個目の赤玉が $k$ 番目にあり、$1$ 個目の赤玉が $1$ 番目から $k-1$ 番目のどこかにあるときで、その位置の選び方は $k-1$ 通りである。よって
$$P(X=k)=\frac{k-1}{15}(k=2,3,4,5,6)$$
すなわち $P(X=2)=\frac{1}{15},P(X=3)=\frac{2}{15},P(X=4)=\frac{3}{15},P(X=5)=\frac{4}{15},P(X=6)=\frac{5}{15}$ であり、合計は $\frac{15}{15}=1$ となる。

期待値は
$$E(X)=\frac{2\cdot 1+3\cdot 2+4\cdot 3+5\cdot 4+6\cdot 5}{15}=\frac{2+6+12+20+30}{15}=\frac{70}{15}=\frac{14}{3}$$

$X^2$ の期待値は
$$E(X^2)=\frac{4\cdot 1+9\cdot 2+16\cdot 3+25\cdot 4+36\cdot 5}{15}=\frac{4+18+48+100+180}{15}=\frac{350}{15}=\frac{70}{3}$$

したがって
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{70}{3}-\frac{196}{9}=\frac{210-196}{9}=\frac{14}{9}$$

赤玉 2 個の位置は 6 か所から 2 か所を選ぶ $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}\right)=15$ 通りで、どれも同様に確からしい。$X$ は 2 個目の赤玉の位置なので、$X=k$ となるのは 1 個目の赤玉が $1,\dots ,k-1$ 番目のどこかにある場合で、$k-1$ 通り。よって $P(X=k)=\frac{k-1}{15}$ ($k=2,3,4,5,6$)。確率の和は $\frac{1+2+3+4+5}{15}=1$ で確認できる。

$E(X)=\sum k\cdot \frac{k-1}{15}=\frac{2+6+12+20+30}{15}=\frac{70}{15}=\frac{14}{3}$

$E(X^2)=\sum k^2\cdot \frac{k-1}{15}=\frac{4+18+48+100+180}{15}=\frac{350}{15}=\frac{70}{3}$

$V(X)=E(X^2)-E(X{)}^2=\frac{70}{3}-\frac{196}{9}=\frac{210-196}{9}=\frac{14}{9}$

検算: 平均 $\frac{14}{3}$ との差の 2 乗を用いて $\sum (k-\frac{14}{3}{)}^2\frac{k-1}{15}$ を計算しても $\frac{14}{9}$ となる（$k=2$: $\frac{1}{15}\cdot \frac{64}{9}$、$k=3$: $\frac{2}{15}\cdot \frac{25}{9}$、$k=4$: $\frac{3}{15}\cdot \frac{4}{9}$、$k=5$: $\frac{4}{15}\cdot \frac{1}{9}$、$k=6$: $\frac{5}{15}\cdot \frac{16}{9}$ で、和は $\frac{64+50+12+4+80}{135}=\frac{210}{135}=\frac{14}{9}$）。