この問題は、利用者からの報告を受けて確認中です。答えや解説に誤りがあるかもしれません。

統計的な推測の問題

難易度 4国公立二次の標準レベル数学B 統計的な推測

1個のさいころを $n$ 回投げるゲームを行う。ただし、 $n$ は正の整数とする。1回投げるごとに、3の倍数の目が出れば得点が $4$ 点増え、それ以外の目が出れば得点が $1$ 点減る。得点は最初 $0$ 点である。 $n$ 回投げ終えたときの得点を $S$ とする。

$n$ を動かすとき、 $E ((S - 10)^{2})$ の最小値を求めよ。

この問題で使うもの

二項分布（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

3の倍数の目が出た回数を $X$ として、 $X$ が従う二項分布を考え、 $S$ を $X$ と $n$ の式で表してみよう。

ヒント 2

$E ((S - 10)^{2}) = V (S) + {E (S) - 10}^{2}$ が成り立つ。 $S = a X + b$ のとき $E (S) = a E (X) + b$ 、 $V (S) = a^{2} V (X)$ を使おう。

ヒント 3

$S = 5 X - n$ より $E (S) = \frac{2 n}{3}$ 、 $V (S) = \frac{50 n}{9}$ なので、 $E ((S - 10)^{2}) = \frac{4 n ^{2}}{9} - \frac{70 n}{9} + 100$ となる。これは $n$ の2次式なので、軸に近い正の整数を調べよう。

答えと解説

答えを見る

66

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

3の倍数の目が出た回数を $X$ とする。1回の試行で3の倍数の目（3, 6）が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。各回の試行は独立なので、 $X$ は二項分布 $B (n, \frac{1}{3})$ に従う。よって
$E (X) = \frac{n}{3}, V (X) = n \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 n}{9}$
である。

3の倍数の目が $X$ 回、それ以外の目が $n - X$ 回出るので
$S = 4 X - (n - X) = 5 X - n$
となる。したがって
$E (S) = 5 E (X) - n = \frac{5 n}{3} - n = \frac{2 n}{3}, V (S) = 5^{2} V (X) = \frac{50 n}{9}$
である。

次に $E ((S - 10)^{2})$ を $E (S)$ と $V (S)$ で表す。 $V (S) = E (S^{2}) - {E (S)}^{2}$ より $E (S^{2}) = V (S) + {E (S)}^{2}$ なので
$E ((S - 10)^{2}) = E (S^{2}) - 20 E (S) + 100 = V (S) + {E (S)}^{2} - 20 E (S) + 100 = V (S) + {E (S) - 10}^{2}$
となる。これを $f (n)$ とおくと
$f (n) = \frac{50 n}{9} + (\frac{2 n}{3} - 10)^{2} = \frac{50 n}{9} + \frac{4 n ^{2}}{9} - \frac{40 n}{3} + 100 = \frac{4 n ^{2}}{9} - \frac{70 n}{9} + 100$
である。平方完成すると
$f (n) = \frac{4}{9} (n - \frac{35}{4})^{2} + 100 - \frac{4}{9} \cdot \frac{1225}{16} = \frac{4}{9} (n - \frac{35}{4})^{2} + 100 - \frac{1225}{36}$
となる。

$n$ は正の整数なので、 $n$ が $\frac{35}{4} = 8.75$ に最も近い整数のとき $f (n)$ は最小になる。 $n = 8$ のとき $n - \frac{35}{4} = \frac{3}{4}$ 、 $n = 9$ のとき $n - \frac{35}{4} = \frac{1}{4}$ なので、 $n = 9$ で最小となる。

$n = 9$ のとき $E (S) = 6$ 、 $V (S) = 50$ なので
$f (9) = 50 + (6 - 10)^{2} = 50 + 16 = 66$
である。

（参考： $n = 8$ のとき $f (8) = \frac{256}{9} - \frac{560}{9} + 100 = \frac{596}{9} > 66$ となり、確かに $n = 9$ の方が小さい。）

よって、求める最小値は $66$ である。

別解

さいころを $n$ 回投げて 3 の倍数の目が出る回数を $X$ とすると、 $X \sim B (n, \frac{1}{3})$ である。得点は $S = 4 X - (n - X) = 5 X - n$ と表せる。

$E (X) = \frac{n}{3}$ 、 $V (X) = n \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2 n}{9}$ なので、
$E (S) = \frac{5 n}{3} - n = \frac{2 n}{3}$ 、 $V (S) = 25 \cdot \frac{2 n}{9} = \frac{50 n}{9}$ 。

$E ((S - 10)^{2}) = V (S) + (E (S) - 10)^{2}$ より、
$E ((S - 10)^{2}) = \frac{50 n}{9} + (\frac{2 n}{3} - 10)^{2} = \frac{4 n ^{2} - 70 n}{9} + 100.$

$f (n) = \frac{4 n ^{2} - 70 n}{9} + 100$ とおく。 $n$ の2次式として軸は $n = \frac{70}{8} = 8.75$ なので、整数 $n$ では $n = 9$ が最小になる。

$n = 9$ のとき $f (9) = \frac{324 - 630}{9} + 100 = - 34 + 100 = 66$ 。

検算： $n = 8$ のとき $f (8) = \frac{256 - 560}{9} + 100 = \frac{- 304}{9} + 100 \approx 66.2$ で、66 より大きい。 $n = 10$ のとき $f (10) = \frac{400 - 700}{9} + 100 = \frac{- 100}{3} + 100 \approx 66.7$ で、これも大きい。

また $n = 9$ では $V (S) = 50$ 、 $(E (S) - 10)^{2} = (6 - 10)^{2} = 16$ で、和は 66 となり一致する。

最小値は 66（ $n = 9$ のとき）。

統計的な推測の問題

この問題で使うもの

ヒント

答えと解説

次のおすすめ

この問題の確認

間違いを報告する

関連する問題