統計的な推測の問題

$n$ 回のうち 3 の倍数の目が出る回数を $X$ とする。1 回投げて 3 の倍数の目（3, 6）が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ で、各回の試行は独立であるから、$X$ は二項分布 $B\left(n,\frac{1}{3}\right)$ に従う。よって
$$E(X)=n\cdot \frac{1}{3}=\frac{n}{3},V(X)=n\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2n}{9}$$
である。

3 の倍数以外の目が出る回数は $n-X$ であるから、得点は
$$S=3X-(n-X)=4X-n$$
と表される。$n$ は定数なので
$$V(S)=4^{2}V(X)=16\cdot \frac{2n}{9}=\frac{32n}{9}$$
となる。$V(S)=320$ より $\frac{32n}{9}=320$、すなわち $n=90$ である。

このとき $E(X)=30$ であるから
$$E(S)=4E(X)-n=4\cdot 30-90=30$$
である。$V(S)=E(S^2)-\{E(S){\}}^2$ より
$$E(S^2)=V(S)+\{E(S){\}}^2=320+30^2=320+900=1220$$
となる。

よって $E(S^2)=1220$ である。

1回ごとの得点の変化を $X_i$ とすると、$X_i=3$ となる確率が $\frac{1}{3}$、$X_i=-1$ となる確率が $\frac{2}{3}$ である。

期待値は $E(X_i)=3\cdot \frac{1}{3}+(-1)\cdot \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ となる。

$E(X_i^2)=9\cdot \frac{1}{3}+1\cdot \frac{2}{3}=\frac{11}{3}$ より、分散は $V(X_i)=\frac{11}{3}-\frac{1}{9}=\frac{32}{9}$ となる。

各回は独立なので、$V(S)=\frac{32}{9}n$ である。これが $320$ に等しいから、$n=90$ となる。

また $E(S)=\frac{1}{3}\cdot 90=30$ である。

$V(S)=E(S^2)-\{E(S){\}}^2$ より、$E(S^2)=320+30^2=1220$ となる。

検算として、$X_i=4Y_i-1$（$Y_i$ は確率 $\frac{1}{3}$ で 1 をとる値）と表すと、$V(X_i)=16\cdot \frac{2}{9}=\frac{32}{9}$ となり、上の値と一致する。