統計的な推測の問題

表が出た回数を $X$ とすると、各回の結果は独立で、表が出る確率は $p$ であるから、$X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従う。よって
$$E(X)=np,V(X)=np(1-p)$$
である。

裏が出た回数は $n-X$ であるから、得点は
$$S=X-(n-X)=2X-n$$
となる。したがって
$$E(S)=2E(X)-n=2np-n=n(2p-1),$$
$$V(S)=2^{2}V(X)=4np(1-p).$$

条件より
$$n(2p-1)=12(1)$$
$$4np(1-p)=45(2)$$

$(1)$ より $2p-1=\frac{12}{n}$ なので
$$p=\frac{n+12}{2n},1-p=\frac{n-12}{2n}.$$
これらを $(2)$ に代入すると
$$4n\cdot \frac{n+12}{2n}\cdot \frac{n-12}{2n}=\frac{(n+12)(n-12)}{n}=\frac{n^2-144}{n}=45.$$
よって $n^2-45n-144=0$ となり、
$$(n-48)(n+3)=0.$$
$n$ は正の整数であるから $n=48$ である。

このとき $p=\frac{48+12}{96}=\frac{5}{8}$ となり、$0<p<1$ を満たす。

（確認）$E(S)=48\cdot \left(\frac{5}{4}-1\right)=12$、$V(S)=4\cdot 48\cdot \frac{5}{8}\cdot \frac{3}{8}=45$ となり、条件に合う。

以上より、$n=48$ である。

表の回数を $X$ とすると $X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従い、$S=X-(n-X)=2X-n$ である。

期待値は $E(S)=2np-n=n(2p-1)=12$。
分散は $V(S)=4V(X)=4np(1-p)=45$。

$m=2p-1$ とおくと $nm=12$ である。また $4p(1-p)=1-(2p-1{)}^2=1-m^2$ なので、$n(1-m^2)=45$ となる。
これを展開すると $n-n{m}^2=45$。$m=\frac{12}{n}$ を代入すると $n-\frac{144}{n}=45$、すなわち $n^2-45n-144=0$ となる。

因数分解すると $(n-48)(n+3)=0$。$n>0$ より $n=48$。

検算：$m=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$、$p=\frac{5}{8}$ で $0<p<1$ を満たす。$E(S)=48\cdot \frac{1}{4}=12$。$V(S)=48\left(1-\frac{1}{16}\right)=45$。よって条件を満たす。