統計的な推測の問題

方針

$X$ と $Y$ は独立ではありません（$1$ の目が出た回は偶数の目ではありません）。そのため $E(XY)=E(X)E(Y)$ とは計算できません。そこで、$X+Y$ もまた二項分布に従うことを利用します。

$$XY=\frac{(X+Y{)}^2-X^2-Y^2}{2}$$

と変形し、$E(X^2),E(Y^2),E((X+Y{)}^2)$ を求めます。

各確率変数の分布

各回の試行は独立です。

• 1 回の試行で $1$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ なので、$X$ は二項分布 $B\left(n,\frac{1}{6}\right)$ に従います。
• 偶数の目が出る確率は $\frac{1}{2}$ なので、$Y$ は $B\left(n,\frac{1}{2}\right)$ に従います。
• $1$ の目と偶数の目は同時には出ません。よって $X+Y$ は「$1,2,4,6$ のいずれかの目が出た回数」であり、その確率は $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ です。したがって $X+Y$ は $B\left(n,\frac{2}{3}\right)$ に従います。

2 乗の期待値

二項分布 $B(n,p)$ に従う確率変数 $Z$ については $E(Z)=np$、$V(Z)=np(1-p)$ です。さらに $V(Z)=E(Z^2)-\{E(Z){\}}^2$ より

$$E(Z^2)=np(1-p)+n^2{p}^2$$

が成り立ちます。これを使うと次のようになります。

$$E(X^2)=n\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}+\frac{n^2}{36}=\frac{n^2+5n}{36}$$

$$E(Y^2)=n\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{n^2}{4}=\frac{n^2+n}{4}=\frac{9n^2+9n}{36}$$

$$E((X+Y{)}^2)=n\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{1}{3}+\frac{4n^2}{9}=\frac{4n^2+2n}{9}=\frac{16n^2+8n}{36}$$

$E(XY)$ の計算

期待値の線形性より

$$E(XY)=\frac{1}{2}\left\{E((X+Y{)}^2)-E(X^2)-E(Y^2)\right\}$$

です。中かっこの中を計算すると

$$\frac{(16n^2+8n)-(n^2+5n)-(9n^2+9n)}{36}=\frac{6n^2-6n}{36}=\frac{n(n-1)}{6}$$

となります。よって

$$E(XY)=\frac{1}{2}\cdot \frac{n(n-1)}{6}=\frac{n(n-1)}{12}$$

（参考）$E(X)E(Y)=\frac{n}{6}\cdot \frac{n}{2}=\frac{n^2}{12}$ であり、$E(XY)$ とは一致しません。$X$ と $Y$ が独立でないことがわかります。

答え $\frac{n(n-1)}{12}$

各回について、$a_i$ を「$i$ 回目に 1 の目が出れば 1、出なければ 0」、$b_j$ を「$j$ 回目に偶数の目が出れば 1、出なければ 0」とする。このとき $X=\sum a_i$、$Y=\sum b_j$ なので、$XY={\sum }_{i,j}{a}_i{b}_j$ である。

$i=j$ のとき、1 の目と偶数の目は同時に出ないので $a_i{b}_i=0$ であり、期待値は 0。

$i\ne j$ のとき、$a_i$ と $b_j$ は独立なので、$E(a_i{b}_j)=\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{12}$。

$i\ne j$ の組 $(i,j)$ は $n(n-1)$ 個ある。よって

$E(XY)=\frac{n(n-1)}{12}$。

検算：$n=1$ のとき $XY=0$ で、式の値も 0 で一致する。$n=2$ のとき、$XY\ne 0$ となるのは (1,偶数) または (偶数,1) の場合で、確率は $2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{6}$、このとき $XY=1$。したがって $E(XY)=\frac{1}{6}$ であり、式の値 $\frac{2\cdot 1}{12}=\frac{1}{6}$ と一致する。