統計的な推測の問題

$k=1,2,\dots ,6$ に対して、確率変数 $X_k$ を、目 $k$ が $n$ 回のうちに少なくとも $1$ 回出たとき $X_k=1$、$1$ 回も出なかったとき $X_k=0$ と定める。すると
$$X=X_1+X_2+\cdots +X_6$$
である。

以下、$a={\left(\frac{5}{6}\right)}^n$、$b={\left(\frac{4}{6}\right)}^n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ とおく。

$E(X)$ の計算

目 $k$ が $1$ 回も出ない確率は ${\left(\frac{5}{6}\right)}^n=a$ なので、
$$E(X_k)=1\cdot (1-a)+0\cdot a=1-a.$$
確率変数の和の期待値は期待値の和に等しいから、
$$E(X)=6(1-a).$$

$E(X^2)$ の計算

$$X^2=\sum _{k=1}^6{X}_k^2+2\sum _{i<j}{X}_i{X}_j$$
である。$X_k$ は $0$ か $1$ の値しかとらないので $X_k^2=X_k$ であり、$E(X_k^2)=1-a$。

また、$i\ne j$ のとき $X_i{X}_j$ は「目 $i$ と目 $j$ がともに少なくとも $1$ 回出る」ときに $1$、それ以外のとき $0$ をとる。その確率は、余事象を考えて
$$1-P(i\text{ が出ない})-P(j\text{ が出ない})+P(i\text{ も }j\text{ も出ない})=1-2a+b$$
となる。ここで、$i$ も $j$ も出ない確率は、毎回残りの $4$ つの目が出る確率なので ${\left(\frac{4}{6}\right)}^n=b$ である。よって $E(X_i{X}_j)=1-2a+b$。

組 $(i,j)$（$i<j$）は ${}_6{\mathrm{C}}_2=15$ 通りあるので、
$$E(X^2)=6(1-a)+2\cdot 15(1-2a+b)=6-6a+30-60a+30b=36-66a+30b.$$

$V(X)$ の計算

$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=36-66a+30b-36(1-a{)}^2.$$
$36(1-a{)}^2=36-72a+36a^2$ なので、
$$V(X)=36-66a+30b-36+72a-36a^2=6a+30b-36a^2.$$
$a^2={\left(\frac{25}{36}\right)}^n$ であるから、
$$V(X)=6{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+30{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-36{\left(\frac{25}{36}\right)}^n.$$

（確認：$n=1$ のとき、$X=1$ と確定するので $V(X)=0$ である。式の値は $5+20-25=0$ となり一致する。$n=3$ のとき、直接分布を求めると $P(X=1)=\frac{1}{36}$、$P(X=2)=\frac{5}{12}$、$P(X=3)=\frac{5}{9}$ であり、$V(X)=\frac{241}{36}-{\left(\frac{91}{36}\right)}^2=\frac{395}{1296}$ となる。式の値も $\frac{4500+11520-15625}{1296}=\frac{395}{1296}$ となり一致する。）

出る目 $k$ ($k=1,\dots ,6$) について、目 $k$ が少なくとも 1 回出れば $1$、出なければ $0$ をとる確率変数を $I_k$ とする。すると $X=I_1+\cdots +I_6$ である。

$a=(5/6{)}^n$、$b=(2/3{)}^n$ とおく。

• $P(I_k=1)=1-a$ なので、$V(I_k)=(1-a)a$。
• $i\ne j$ のとき、$P(I_i=1,I_j=1)=1-2a+b$ である（包除原理）。
• $E[I_i{I}_j]-E[I_i]E[I_j]=(1-2a+b)-(1-a{)}^2=b-a^2$。これが共分散である。

$V(X)$ は分散の和と、順序つきの組 $(i,j)$ ($i\ne j$) 30 個分の共分散の和になる。

$V(X)=6a(1-a)+30(b-a^2)=6a+30b-36a^2$

よって

$V(X)=6{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+30{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-36{\left(\frac{25}{36}\right)}^n$

検算:
- $n=1$ のとき $5+20-25=0$。1 回投げれば $X=1$ で確定するので分散は 0 であり、一致する。
- $n=2$ のとき $\frac{25}{6}+\frac{40}{3}-\frac{625}{36}=\frac{150+480-625}{36}=\frac{5}{36}$。直接計算すると $X=1$ の確率が $\frac{1}{6}$、$X=2$ の確率が $\frac{5}{6}$ なので分散は $\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{36}$ となり、一致する。