統計的な推測の問題

1 回の試行で $3$ の倍数の目（$3,6$）が出る確率は $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ であり、$n$ 回の試行は独立であるから、$X$ は二項分布 $B\left(n,\frac{1}{3}\right)$ に従う。よって $k=0,1,\dots ,n$ に対して
$$P(X=k)={}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-k}$$
である。

$V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y){\}}^2$ を用いる。準備として、$1\leqq k\leqq n$ のとき
$$k{}_n{\mathrm{C}}_k=n{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}(1)$$
$2\leqq k\leqq n$ のとき
$$k(k-1){}_n{\mathrm{C}}_k=n(n-1){}_{n-2}{\mathrm{C}}_{k-2}(2)$$
が成り立つ（${}_n{\mathrm{C}}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ から直接確かめられる）。

$E(Y)$ の計算
$$E(Y)=\sum _{k=0}^{n}k\cdot 2^k{}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-k}=\sum _{k=0}^{n}k{}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{2}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-k}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n\sum _{k=0}^{n}k{}_n{\mathrm{C}}_k$$
$(1)$ と二項定理より
$$\sum _{k=0}^{n}k{}_n{\mathrm{C}}_k=n\sum _{k=1}^n{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}=n\cdot 2^{n-1}$$
したがって
$$E(Y)={\left(\frac{2}{3}\right)}^n\cdot n\cdot 2^{n-1}=\frac{n}{2}{\left(\frac{4}{3}\right)}^n$$

$E(Y^2)$ の計算
$Y^2=X^2\cdot 4^X$ であるから
$$E(Y^2)=\sum _{k=0}^n{k}^2\cdot 4^k{}_n{\mathrm{C}}_k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-k}={\left(\frac{2}{3}\right)}^n\sum _{k=0}^n{k}^2{}_n{\mathrm{C}}_k{2}^k$$
（$4^k{\left(\frac{1}{3}\right)}^k={\left(\frac{2}{3}\right)}^k\cdot 2^k$ を用いた。）

$k^2=k(k-1)+k$ と分けて計算する。$(1)$ と二項定理より
$$\sum _{k=0}^{n}k{}_n{\mathrm{C}}_k{2}^k=n\sum _{k=1}^n{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}{2}^k=2n\sum _{j=0}^{n-1}{}_{n-1}{\mathrm{C}}_j{2}^j=2n(1+2{)}^{n-1}=2n\cdot 3^{n-1}$$
$n\geqq 2$ のとき、$(2)$ と二項定理より
$$\sum _{k=0}^{n}k(k-1){}_n{\mathrm{C}}_k{2}^k=n(n-1)\sum _{k=2}^n{}_{n-2}{\mathrm{C}}_{k-2}{2}^k=4n(n-1)\cdot 3^{n-2}$$
これは $n=1$ のときも両辺が $0$ となり成り立つ。よって
$$\sum _{k=0}^n{k}^2{}_n{\mathrm{C}}_k{2}^k=4n(n-1)\cdot 3^{n-2}+2n\cdot 3^{n-1}=2n\cdot 3^{n-2}\{2(n-1)+3\}=2n(2n+1)\cdot 3^{n-2}$$
したがって
$$E(Y^2)=\frac{2^n}{3^n}\cdot 2n(2n+1)\cdot 3^{n-2}=\frac{2^{n+1}n(2n+1)}{9}$$

分散
$$\{E(Y){\}}^2=\frac{n^2}{4}{\left(\frac{16}{9}\right)}^n$$
であるから
$$V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y){\}}^2=\frac{2^{n+1}n(2n+1)}{9}-\frac{n^2}{4}{\left(\frac{16}{9}\right)}^n$$

（確認）$n=1$ のとき、$Y$ は確率 $\frac{2}{3}$ で $0$、確率 $\frac{1}{3}$ で $2$ をとるので $E(Y)=\frac{2}{3}$, $E(Y^2)=\frac{4}{3}$, $V(Y)=\frac{4}{3}-\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$。上の式でも $\frac{4\cdot 3}{9}-\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{9}=\frac{4}{3}-\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$ となり一致する。

1 回のさいころで 3 の倍数の目（3, 6）が出る確率は $\frac{1}{3}$ なので、$X$ は二項分布 $B\left(n,\frac{1}{3}\right)$ に従う。$p=\frac{1}{3},q=\frac{2}{3}$ とおく。

二項定理より ${\sum }_{k=0}^n{}_n{\mathrm{C}}_k(pt{)}^k{q}^{n-k}=(q+pt{)}^n$。これを $t$ で微分して $t$ を掛けると $\sum k{}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k{q}^{n-k}{t}^k=npt(q+pt{)}^{n-1}$。もう一度 $t$ で微分して $t$ を掛けると
$\sum k^2{}_n{\mathrm{C}}_k{p}^k{q}^{n-k}{t}^k=t\left\{np(q+pt{)}^{n-1}+n(n-1)p^{2}t(q+pt{)}^{n-2}\right\}$。

$E(Y)=E(X{2}^X)$: $t=2$ とすると $q+2p=\frac{4}{3}$ なので
$E(Y)=2n\cdot \frac{1}{3}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-1}=\frac{2n}{3}\cdot \frac{3}{4}{\left(\frac{4}{3}\right)}^n=\frac{n}{2}{\left(\frac{4}{3}\right)}^n$。

$E(Y^2)=E(X^2{4}^X)$: $t=4$ とすると $q+4p=2$ なので
$E(Y^2)=4\left\{\frac{n}{3}{2}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{9}\cdot 4\cdot 2^{n-2}\right\}=4\cdot 2^{n-2}\left\{\frac{2n}{3}+\frac{4n(n-1)}{9}\right\}=2^n\cdot \frac{4n^2+2n}{9}=\frac{2^{n+1}n(2n+1)}{9}$。

よって
$V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y){\}}^2=\frac{2^{n+1}n(2n+1)}{9}-\frac{n^2}{4}{\left(\frac{16}{9}\right)}^n$。

検算: $n=1$ のとき $Y$ は確率 $\frac{2}{3}$ で $0$、確率 $\frac{1}{3}$ で $2$。$E(Y)=\frac{2}{3}$、$E(Y^2)=\frac{4}{3}$、$V(Y)=\frac{4}{3}-\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$。公式に $n=1$ を代入すると $\frac{4\cdot 3}{9}-\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{9}=\frac{4}{3}-\frac{4}{9}=\frac{8}{9}$ で一致する。