統計的な推測の問題

確率変数を分解する。

$k=1,2,\dots ,6$ に対して、$n$ 回のうちに目 $k$ が少なくとも $1$ 回出たとき $X_k=1$、$1$ 回も出なかったとき $X_k=0$ とする。すると
$$X=X_1+X_2+\cdots +X_6$$
である。$X_1,\dots ,X_6$ は互いに独立ではないので、$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$ を使って計算する。

以下、$a={\left(\frac{5}{6}\right)}^n$、$b={\left(\frac{4}{6}\right)}^n={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ とおく。

$E(X)$

目 $k$ が $1$ 回も出ない確率は、毎回 $k$ 以外の $5$ 通りの目が出る確率なので $a$。よって
$$E(X_k)=1\cdot P(X_k=1)=1-a$$
$$E(X)=E(X_1)+\cdots +E(X_6)=6(1-a)$$

$E(X^2)$

$$X^2=\sum _{k=1}^6{X}_k^2+\sum _{j\ne k}{X}_j{X}_k$$
ここで、2 つめの和は $j\ne k$ である順序のついた組 $(j,k)$（$6\cdot 5=30$ 組）についての和である。

$X_k$ は $0$ か $1$ なので $X_k^2=X_k$、よって $E(X_k^2)=1-a$。

$j\ne k$ のとき、$X_j{X}_k=1$ となるのは目 $j$ と目 $k$ がともに少なくとも $1$ 回出るときである。余事象の考え方で
$$P(\text{j も k も出る})=1-P(\text{j が出ない})-P(\text{k が出ない})+P(\text{j も k も出ない})=1-2a+b$$
（$j$ も $k$ も出ないのは毎回残りの $4$ 通りの目が出るときで、その確率は $b$。）よって $E(X_j{X}_k)=1-2a+b$。

したがって
$$E(X^2)=6(1-a)+30(1-2a+b)=36-66a+30b$$

$V(X)$
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=36-66a+30b-36(1-a{)}^2$$
$$=36-66a+30b-36+72a-36a^2=6a+30b-36a^2$$
$a^2={\left(\frac{25}{36}\right)}^n$ であるから
$$V(X)=6{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+30{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-36{\left(\frac{25}{36}\right)}^n$$

（確認: $n=1$ のとき $X=1$ で $V(X)=0$、式は $5+20-25=0$。$n=2$ のとき $X=1$ となる確率 $\frac{1}{6}$、$X=2$ となる確率 $\frac{5}{6}$ で $V(X)=\frac{5}{36}$、式は $\frac{150}{36}+\frac{480}{36}-\frac{625}{36}=\frac{5}{36}$。）

目 $k$ ($k=1,\dots ,6$) が少なくとも 1 回出れば $1$、出なければ $0$ とする確率変数を $I_k$ とすると $X=I_1+\cdots +I_6$。

$a={\left(\frac{5}{6}\right)}^n$、$b={\left(\frac{2}{3}\right)}^n$ とおく。
- $P(I_k=1)=1-a$。$I_k$ は $0$ か $1$ なので $I_k^2=I_k$ で、$V(I_k)=(1-a)a$。
- $k\ne l$ のとき、$I_k{I}_l=1$ となるのは目 $k$ も目 $l$ も出る場合で、余事象（$k$ が出ない または $l$ が出ない）の確率は $a+a-b$ ($k,l$ どちらも出ない確率が ${\left(\frac{4}{6}\right)}^n=b$)。よって $E[I_k{I}_l]=1-2a+b$。
- 共分散 $\mathrm{Cov}(I_k,I_l)=E[I_k{I}_l]-E[I_k]E[I_l]=(1-2a+b)-(1-a{)}^2=b-a^2$。

$V(X)={\sum }_{k}V(I_k)+{\sum }_{k\ne l}\mathrm{Cov}(I_k,I_l)=6a(1-a)+30(b-a^2)=6a+30b-36a^2$。

よって $V(X)=6{\left(\frac{5}{6}\right)}^n+30{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-36{\left(\frac{25}{36}\right)}^n$。

検算: $n=1$ のとき $5+20-25=0$（$X=1$ で一定）。$n=2$ のとき $X=1$ の確率 $\frac{1}{6}$、$X=2$ の確率 $\frac{5}{6}$ なので $V(X)=\frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}=\frac{5}{36}$。公式は $6\cdot \frac{25}{36}+30\cdot \frac{4}{9}-36\cdot \frac{625}{1296}=\frac{25}{6}+\frac{40}{3}-\frac{625}{36}=\frac{150+480-625}{36}=\frac{5}{36}$ で一致する。