統計的な推測の問題

表が出た回数を $X$ とすると、裏が出た回数は $2m-X$ なので
$$D=|X-(2m-X)|=2|X-m|$$
である。$X$ は二項分布 $B\left(2m,\frac{1}{2}\right)$ に従い
$$E(X)=2m\cdot \frac{1}{2}=m,V(X)=2m\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{m}{2}$$

$E(D^2)$ の計算

$D^2=4(X-m{)}^2$ であり、$E(X)=m$ なので $E\left((X-m{)}^2\right)=V(X)=\frac{m}{2}$。よって
$$E(D^2)=4\cdot \frac{m}{2}=2m$$

$E(D)$ の計算（鍵）

$P(X=k)=\frac{{}_{2m}{\mathrm{C}}_k}{4^m}$ であり、${}_{2m}{\mathrm{C}}_k={}_{2m}{\mathrm{C}}_{2m-k}$ より $X=m+j$ と $X=m-j$ の確率は等しい。したがって
$$E(|X-m|)=2\sum _{k=m+1}^{2m}(k-m)\cdot \frac{{}_{2m}{\mathrm{C}}_k}{4^m}$$
ここで、$1\leqq k\leqq 2m$ に対して
$$k\cdot {}_{2m}{\mathrm{C}}_k=2m\cdot {}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{k-1},(2m-k)\cdot {}_{2m}{\mathrm{C}}_k=2m\cdot {}_{2m-1}{\mathrm{C}}_k$$
が成り立つ（${}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{2m}=0$ と約束する）。実際、${}_{2m}{\mathrm{C}}_k=\frac{(2m)!}{k!(2m-k)!}$ から $k\cdot {}_{2m}{\mathrm{C}}_k=\frac{2m\cdot (2m-1)!}{(k-1)!(2m-k)!}=2m\cdot {}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{k-1}$ であり、もう一方も同様である。

$k-m=\frac{1}{2}\{k-(2m-k)\}$ なので
$$(k-m)\cdot {}_{2m}{\mathrm{C}}_k=\frac{1}{2}\left(2m\cdot {}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{k-1}-2m\cdot {}_{2m-1}{\mathrm{C}}_k\right)=m\left({}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{k-1}-{}_{2m-1}{\mathrm{C}}_k\right)$$
となり、和は隣どうしが打ち消し合う:
$$\sum _{k=m+1}^{2m}(k-m)\cdot {}_{2m}{\mathrm{C}}_k=m\left({}_{2m-1}{\mathrm{C}}_m-{}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{2m}\right)=m\cdot {}_{2m-1}{\mathrm{C}}_m$$
さらに ${}_{2m}{\mathrm{C}}_m={}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{m-1}+{}_{2m-1}{\mathrm{C}}_m=2\cdot {}_{2m-1}{\mathrm{C}}_m$ なので ${}_{2m-1}{\mathrm{C}}_m=\frac{1}{2}{}_{2m}{\mathrm{C}}_m$。よって
$$E(|X-m|)=2\cdot \frac{1}{4^m}\cdot \frac{m\cdot {}_{2m}{\mathrm{C}}_m}{2}=\frac{m\cdot {}_{2m}{\mathrm{C}}_m}{4^m}$$
$$E(D)=2E(|X-m|)=\frac{2m\cdot {}_{2m}{\mathrm{C}}_m}{4^m}$$

分散
$$V(D)=E(D^2)-\{E(D){\}}^2=2m-\frac{4m^2{\left({}_{2m}{\mathrm{C}}_m\right)}^2}{16^m}$$

（確認: $m=1$ のとき、$D$ は確率 $\frac{1}{2}$ で $2$、確率 $\frac{1}{2}$ で $0$ なので $V(D)=1$。式の値は $2-\frac{4\cdot 4}{16}=1$ で一致する。$m=2$ のとき、$D=4,2,0$ となる確率は $\frac{2}{16},\frac{8}{16},\frac{6}{16}$ で $E(D)=\frac{3}{2}$, $E(D^2)=4$, $V(D)=\frac{7}{4}$。式の値は $4-\frac{16\cdot 36}{256}=\frac{7}{4}$ で一致する。）

答え: $V(D)=2m-\frac{4m^2{\left({}_{2m}{\mathrm{C}}_m\right)}^2}{16^m}$

表が出た回数を $k$ とすると、裏は $2m-k$ 回で、$D=|k-(2m-k)|=2|k-m|$。$k$ は二項分布 $B(2m,\frac{1}{2})$ に従い $P(k)=\frac{{}_{2m}{\mathrm{C}}_k}{4^m}$。

(1) $E(D^2)=4E((k-m{)}^2)=4V(k)=4\cdot 2m\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=2m$。

(2) $E(D)=\frac{2}{4^m}{\sum }_{k=0}^{2m}|k-m|{}_{2m}{\mathrm{C}}_k$。対称性より ${\sum }_{k=0}^{2m}|k-m|{}_{2m}{\mathrm{C}}_k=2{\sum }_{k=m+1}^{2m}(k-m){}_{2m}{\mathrm{C}}_k$。

$k{}_{2m}{\mathrm{C}}_k=2m{}_{2m-1}{\mathrm{C}}_{k-1}$ より ${\sum }_{k=m+1}^{2m}k{}_{2m}{\mathrm{C}}_k=2m{\sum }_{j=m}^{2m-1}{}_{2m-1}{\mathrm{C}}_j=2m\cdot 2^{2m-2}=\frac{m\cdot 4^m}{2}$。

また ${\sum }_{k=m+1}^{2m}{}_{2m}{\mathrm{C}}_k=\frac{4^m-{}_{2m}{\mathrm{C}}_m}{2}$。

よって ${\sum }_{k=m+1}^{2m}(k-m){}_{2m}{\mathrm{C}}_k=\frac{m\cdot 4^m}{2}-\frac{m(4^m-{}_{2m}{\mathrm{C}}_m)}{2}=\frac{m{}_{2m}{\mathrm{C}}_m}{2}$。

ゆえに $\sum |k-m|{}_{2m}{\mathrm{C}}_k=m{}_{2m}{\mathrm{C}}_m$、$E(D)=\frac{2m{}_{2m}{\mathrm{C}}_m}{4^m}$。

(3) $V(D)=E(D^2)-\{E(D){\}}^2=2m-\frac{4m^2({}_{2m}{\mathrm{C}}_m{)}^2}{16^m}$。

検算: $m=1$ のとき $D=2$（確率 $\frac{1}{2}$）、$0$（確率 $\frac{1}{2}$）で $E(D)=1$、$E(D^2)=2$、$V=1$。式は $2-\frac{4\cdot 4}{16}=1$ で一致。$m=2$: $D=4,2,0$ の確率が $\frac{2}{16},\frac{8}{16},\frac{6}{16}$ で $E(D)=\frac{3}{2}$、$E(D^2)=4$、$V=\frac{7}{4}$。式は $4-\frac{16\cdot 36}{256}=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$ で一致。