統計的な推測の問題

$X_1,X_2,\dots ,X_n$ は互いに独立で、どれも $1,2$ を確率 $\frac{1}{2}$ ずつとる。同じ分布に従うので、1 つを $X$ と書くと
$$E(X)=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2},E(X^2)=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2},E(X^3)=\frac{1+8}{2}=\frac{9}{2}$$
である。

$S^2$ の展開
$$S^2=\sum _{k=1}^n{X}_k^2+2\sum _{1\le j<k\le n}{X}_j{X}_k$$
より
$$S^{2}T=\sum _{k=1}^n{X}_k^{2}T+2\sum _{1\le j<k\le n}{X}_j{X}_{k}T$$
となる。

(1) $X_k^{2}T$ の期待値
$X_k^{2}T=X_k^3{\prod }_{i\ne k}{X}_i$ である。$X_k^3$ と $X_i(i\ne k)$ は互いに独立なので、期待値は積に分かれる。
$$E(X_k^{2}T)=E(X_k^3)\prod _{i\ne k}E(X_i)=\frac{9}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$$

(2) $X_j{X}_{k}T(j<k)$ の期待値
$X_j{X}_{k}T=X_j^2{X}_k^2{\prod }_{i\ne j,k}{X}_i$ である。同様に
$$E(X_j{X}_{k}T)=E(X_j^2)E(X_k^2)\prod _{i\ne j,k}E(X_i)={\left(\frac{5}{2}\right)}^2{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}=\frac{25}{4}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}$$
組 $(j,k)$ は ${}_n{\mathrm{C}}_2=\frac{n(n-1)}{2}$ 個ある。$n=1$ のときはこの項がないが、${}_1{\mathrm{C}}_2=0$ なので下の式にそのまま含めてよい。

合計
期待値の線形性より
$$E(S^{2}T)=n\cdot \frac{9}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}+2\cdot \frac{n(n-1)}{2}\cdot \frac{25}{4}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}$$
${\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}$ でくくると
$$E(S^{2}T)={\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}\left\{\frac{27}{4}n+\frac{25}{4}n(n-1)\right\}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}\cdot \frac{n(25n+2)}{4}$$
ここで ${\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{3^{n-2}}{2^{n-2}\cdot 2^2}=\frac{3^{n-2}}{2^n}$ なので
$$E(S^{2}T)=\frac{n(25n+2)\cdot 3^{n-2}}{2^n}$$

確認
- $n=1$ のとき、$S^{2}T=X^3$ で $E=\frac{9}{2}$ である。公式も $\frac{1\cdot 27\cdot 3^{-1}}{2}=\frac{9}{2}$ となり一致する。
- $n=2$ のとき、4 通り $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ に対する $S^{2}T$ の値は $4,18,18,64$ で、平均は $\frac{104}{4}=26$ である。公式も $\frac{2\cdot 52\cdot 1}{4}=26$ となり一致する。

$X_k$ は独立で、$E[X_k]=\frac{3}{2}$、$E[X_k^2]=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$、$E[X_k^3]=\frac{1+8}{2}=\frac{9}{2}$ である。

$S^2={\sum }_i{X}_i^2+{\sum }_{i\ne j}{X}_i{X}_j$ より
$S^{2}T={\sum }_i{X}_i^{2}T+{\sum }_{i\ne j}{X}_i{X}_{j}T$。

第1項: $E[X_i^{2}T]=E[X_i^3]{\prod }_{k\ne i}E[X_k]=\frac{9}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$。これが $n$ 個あるので、和は $n\cdot \frac{9}{2}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$。

第2項: $i\ne j$ のとき $E[X_i{X}_{j}T]=E[X_i^2]E[X_j^2]{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}=\frac{25}{4}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}$。組は $n(n-1)$ 個あるので、和は $n(n-1)\cdot \frac{25}{4}{\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}$。

合計:
${\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}\left[\frac{27n}{4}+\frac{25n(n-1)}{4}\right]={\left(\frac{3}{2}\right)}^{n-2}\frac{n(25n+2)}{4}=\frac{n(25n+2)3^{n-2}}{2^n}$。

検算: $n=1$ のとき $S^{2}T=X_1^3$ で期待値は $\frac{9}{2}$。公式は $\frac{27\cdot 3^{-1}}{2}=\frac{9}{2}$ となり一致する。