統計的な推測の問題

さいころの目 $1,2,3,4,5,6$ を $3$ で割った余りはそれぞれ $1,2,0,1,2,0$ であるから、各 $X_k$ は $0,1,2$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ でとる。よって
$$E(X_k)=\frac{0+1+2}{3}=1,E(X_k^2)=\frac{0+1+4}{3}=\frac{5}{3}$$
また、各回の試行は独立であるから、$X_1,X_2,\dots ,X_{n+1}$ は互いに独立である。独立な確率変数については、積の期待値は期待値の積に等しい。

$Y_k=X_k{X}_{k+1}$ $(k=1,2,\dots ,n)$ とおくと $S=Y_1+Y_2+\cdots +Y_n$ である。ここで、隣り合う $Y_k$ と $Y_{k+1}$ は共通の $X_{k+1}$ を含むので独立ではない。そのため $V(S)=\sum V(Y_k)$ とはできず、$V(S)=E(S^2)-\{E(S){\}}^2$ を用いて計算する。

$E(S)$ の計算
$X_k$ と $X_{k+1}$ は独立なので $E(Y_k)=E(X_k)E(X_{k+1})=1$。よって
$$E(S)=\sum _{k=1}^{n}E(Y_k)=n$$

$E(S^2)$ の計算
$$S^2=\sum _{k=1}^n{Y}_k^2+2\sum _{1\leqq j<k\leqq n}{Y}_j{Y}_k$$
である。それぞれの項の期待値を求める。

(i) $Y_k^2=X_k^2{X}_{k+1}^2$ であり、$X_k$ と $X_{k+1}$ は独立なので
$$E(Y_k^2)=E(X_k^2)E(X_{k+1}^2)={\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\frac{25}{9}$$

(ii) $k=j+1$ のとき、$Y_j{Y}_{j+1}=X_j{X}_{j+1}^2{X}_{j+2}$ であり、$X_j,X_{j+1},X_{j+2}$ は互いに独立なので
$$E(Y_j{Y}_{j+1})=E(X_j)E(X_{j+1}^2)E(X_{j+2})=1\cdot \frac{5}{3}\cdot 1=\frac{5}{3}$$
このような組 $(j,k)$ は $j=1,2,\dots ,n-1$ の $n-1$ 個ある。

(iii) $k\geqq j+2$ のとき、$X_j,X_{j+1},X_k,X_{k+1}$ はすべて異なる回の結果で互いに独立なので
$$E(Y_j{Y}_k)=E(X_j)E(X_{j+1})E(X_k)E(X_{k+1})=1$$
このような組の個数は、$j<k$ である組全体 ${}_n{\mathrm{C}}_2=\frac{n(n-1)}{2}$ 個から (ii) の $n-1$ 個を除いて $\frac{n(n-1)}{2}-(n-1)$ 個である。

したがって
$$E(S^2)=\frac{25}{9}n+2\left\{\frac{5}{3}(n-1)+1\cdot \left(\frac{n(n-1)}{2}-(n-1)\right)\right\}$$
$$=\frac{25}{9}n+\frac{10}{3}(n-1)+n(n-1)-2(n-1)=n^2-n+\frac{25}{9}n+\frac{4}{3}(n-1)$$
（$n=1$ のときは (ii), (iii) の組は存在しないが、上の式で $n-1=0$, $\frac{n(n-1)}{2}=0$ となるのでそのまま成り立つ。）

分散
$$V(S)=E(S^2)-\{E(S){\}}^2=-n+\frac{25}{9}n+\frac{4}{3}(n-1)=\frac{-9n+25n+12n-12}{9}=\frac{28n-12}{9}$$

（確認）$n=1$ のとき $S=X_1{X}_2$ で、$V(S)=\frac{25}{9}-1^2=\frac{16}{9}$。式でも $\frac{28-12}{9}=\frac{16}{9}$ となり一致する。

さいころの目を 3 で割った余りは 0, 1, 2 のいずれかで、1〜6 の目のうち各余りになる目は 2 個ずつなので、各 $X_k$ は $0,1,2$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ でとり、$X_1,\dots ,X_{n+1}$ は互いに独立である。

$E(X_k)=\frac{0+1+2}{3}=1$、$E(X_k^2)=\frac{0+1+4}{3}=\frac{5}{3}$。

$Z_k=X_k{X}_{k+1}$ $(k=1,\dots ,n)$ とおくと $S={\sum }_{k=1}^n{Z}_k$。

$E(Z_k)=E(X_k)E(X_{k+1})=1$。
$E(Z_k^2)=E(X_k^2)E(X_{k+1}^2)=\frac{25}{9}$ なので $V(Z_k)=\frac{25}{9}-1=\frac{16}{9}$。

隣り合う $Z_k,Z_{k+1}$ は $X_{k+1}$ を共有するので
$E(Z_k{Z}_{k+1})=E(X_k{X}_{k+1}^2{X}_{k+2})=E(X_k)E(X_{k+1}^2)E(X_{k+2})=1\cdot \frac{5}{3}\cdot 1=\frac{5}{3}$。
よって $\mathrm{Cov}(Z_k,Z_{k+1})=\frac{5}{3}-1\cdot 1=\frac{2}{3}$。

$|j-k|\ge 2$ のとき $Z_j,Z_k$ は共通の $X$ を含まないので独立で共分散は $0$。

分散の和の公式より
$V(S)={\sum }_{k=1}^{n}V(Z_k)+2{\sum }_{k=1}^{n-1}\mathrm{Cov}(Z_k,Z_{k+1})=\frac{16}{9}n+2(n-1)\cdot \frac{2}{3}=\frac{16n+12(n-1)}{9}=\frac{28n-12}{9}$。

検算: $n=1$ のとき $S=X_1{X}_2$ で $V(S)=\frac{25}{9}-1=\frac{16}{9}$。公式は $\frac{28-12}{9}=\frac{16}{9}$ で一致する。$n=2$ のとき $S=X_2(X_1+X_3)$ とみて、$T=X_1+X_3$ は $E(T)=2$、$E(T^2)=V(T)+4=\frac{4}{3}+4=\frac{16}{3}$ なので $E(S^2)=\frac{5}{3}\cdot \frac{16}{3}=\frac{80}{9}$、$E(S)=2$、$V(S)=\frac{80}{9}-4=\frac{44}{9}$。公式は $\frac{56-12}{9}=\frac{44}{9}$ で一致する。