統計的な推測の問題

さいころを投げる試行と硬貨を投げる試行は独立なので、$X$ と $Y$ は独立である。したがって $X^2$ と $Y^2$ も独立である。

$X$ について　$X$ は $1,2,\dots ,6$ の値をそれぞれ確率 $\frac{1}{6}$ でとるから
$$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$$
$$E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$$

$Y$ について　$Y$ のとる値と確率は
$$P(Y=0)=\frac{1}{4},P(Y=1)=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{4}$$
よって
$$E(Y)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}=1$$
$$E(Y^2)=0^2\cdot \frac{1}{4}+1^2\cdot \frac{1}{2}+2^2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$$

$XY$ の分散　$V(XY)=E((XY{)}^2)-\{E(XY){\}}^2$ である。

$X$ と $Y$ は独立なので
$$E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{7}{2}\cdot 1=\frac{7}{2}$$
$X^2$ と $Y^2$ は独立なので
$$E((XY{)}^2)=E(X^2{Y}^2)=E(X^2)E(Y^2)=\frac{91}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{91}{4}$$
したがって
$$V(XY)=\frac{91}{4}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{91}{4}-\frac{49}{4}=\frac{42}{4}=\frac{21}{2}$$

さいころの目 $X$ と硬貨の表の回数 $Y$ は独立である。

$E(X)=\frac{7}{2}$、$E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$。

$Y$ は二項分布 $B(2,\frac{1}{2})$ に従うので、$E(Y)=1$、$V(Y)=\frac{1}{2}$。よって $E(Y^2)=V(Y)+E(Y{)}^2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。

独立なので $E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{7}{2}$、$E(X^2{Y}^2)=E(X^2)E(Y^2)=\frac{91}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{91}{4}$。

したがって $V(XY)=E(X^2{Y}^2)-\{E(XY){\}}^2=\frac{91}{4}-\frac{49}{4}=\frac{42}{4}=\frac{21}{2}$。

検算：$Y=0,1,2$ の確率は $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$。$E(X^2{Y}^2)=\frac{91}{6}\left(0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}\right)=\frac{91}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{91}{4}$ となり一致する。