統計的な推測の問題

さいころの試行と硬貨の試行は互いに影響しないので、$X$ と $Y$ は互いに独立である。

$X$ について
$X$ は $1,2,3,4,5,6$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{6}$ でとるので
$$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{21}{6}=\frac{7}{2}$$
$$E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$$

$Y$ について
$Y$ の確率分布は $P(Y=0)=\frac{1}{4},P(Y=1)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},P(Y=2)=\frac{1}{4}$ であるから
$$E(Y)=0\cdot \frac{1}{4}+1\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{4}=1$$
$$E(Y^2)=0^2\cdot \frac{1}{4}+1^2\cdot \frac{1}{2}+2^2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$$

$XY$ の分散
$V(XY)=E((XY{)}^2)-\{E(XY){\}}^2$ を用いる。

$X$ と $Y$ が独立なので
$$E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{7}{2}\cdot 1=\frac{7}{2}$$
また、$X$ と $Y$ が独立なので $X^2$ と $Y^2$ も独立であり、
$$E((XY{)}^2)=E(X^2{Y}^2)=E(X^2)E(Y^2)=\frac{91}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{91}{4}$$
よって
$$V(XY)=\frac{91}{4}-{\left(\frac{7}{2}\right)}^2=\frac{91}{4}-\frac{49}{4}=\frac{42}{4}=\frac{21}{2}$$

さいころの目 $X$ と硬貨の表の枚数 $Y$ は独立である。

$E(X)=\frac{7}{2}$、$E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$ である。

$Y$ は二項分布 $B(2,\frac{1}{2})$ に従うので、$E(Y)=1$、$V(Y)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ である。よって $E(Y^2)=V(Y)+E(Y{)}^2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$ である。

独立なので $E(XY)=E(X)E(Y)=\frac{7}{2}$ であり、$E(X^2{Y}^2)=E(X^2)E(Y^2)=\frac{91}{6}\cdot \frac{3}{2}=\frac{91}{4}$ である。

以上より
$V(XY)=E(X^2{Y}^2)-\{E(XY){\}}^2=\frac{91}{4}-\frac{49}{4}=\frac{42}{4}=\frac{21}{2}$

検算として、$Y$ の確率は $Y=0,1,2$ でそれぞれ $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$ である。$E(Y^2)=0+\frac{1}{2}+4\cdot \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$ となり、上の値と一致する。