統計的な推測の問題

さいころと硬貨の試行は互いに影響しないので、$X$ と $Y$ は独立である。したがって $X$ と $W=Y+1$ も独立であり、$X^2$ と $W^2$ も独立である。

$X$ について
$$E(X)=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2},E(X^2)=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$$

$Y$ について
$Y$ は二項分布 $B\left(2,\frac{1}{2}\right)$ に従うので
$$E(Y)=2\cdot \frac{1}{2}=1,V(Y)=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
よって $E(Y^2)=V(Y)+\{E(Y){\}}^2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$。

$W=Y+1$ について
$$E(W)=E(Y)+1=2$$
$$E(W^2)=E(Y^2+2Y+1)=E(Y^2)+2E(Y)+1=\frac{3}{2}+2+1=\frac{9}{2}$$

$Z=XW$ について
独立性より
$$E(Z)=E(X)E(W)=\frac{7}{2}\cdot 2=7$$
$$E(Z^2)=E(X^2{W}^2)=E(X^2)E(W^2)=\frac{91}{6}\cdot \frac{9}{2}=\frac{819}{12}=\frac{273}{4}$$
したがって
$$V(Z)=E(Z^2)-\{E(Z){\}}^2=\frac{273}{4}-49=\frac{273-196}{4}=\frac{77}{4}$$

（注意：積の分散は $V(X)V(W)$ にはならないので、$E(Z^2)-\{E(Z){\}}^2$ で計算する。）

$X$ と $Y$ は独立である。$W=Y+1$ とおくと $Z=XW$ である。

$E[X]=\frac{7}{2}$、$E[X^2]=\frac{1+4+9+16+25+36}{6}=\frac{91}{6}$。

$Y$ は $0,1,2$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$ でとるので、$W$ は $1,2,3$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}$ でとる。

よって $E[W]=\frac{1}{4}+1+\frac{3}{4}=2$、$E[W^2]=\frac{1}{4}+2+\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$。

独立性より $E[Z]=E[X]E[W]=\frac{7}{2}\cdot 2=7$、$E[Z^2]=E[X^2]E[W^2]=\frac{91}{6}\cdot \frac{9}{2}=\frac{273}{4}$。

$V(Z)=\frac{273}{4}-49=\frac{273-196}{4}=\frac{77}{4}$。

検算: $V(X)=\frac{91}{6}-\frac{49}{4}=\frac{35}{12}$、$V(W)=\frac{9}{2}-4=\frac{1}{2}$ より、$V(XW)=V(X)V(W)+V(X)E[W{]}^2+V(W)E[X{]}^2=\frac{35}{24}+\frac{35}{3}+\frac{49}{8}=\frac{35+280+147}{24}=\frac{462}{24}=\frac{77}{4}$。これは上の値と一致する。