統計的な推測の問題

$Z$ の変形

$(X-1)(Y+1)=XY+X-Y-1$ であるから、
$$Z=(X-1)(Y+1)+1$$
と表せる。$U=X-1$, $W=Y+1$ とおくと $Z=UW+1$ であり、$V(Z)=V(UW)$ である。

さいころを投げる試行と硬貨を投げる試行は独立なので、$X$ と $Y$ は独立である。よって $U$ と $W$ も独立であり、$U^2$ と $W^2$ も独立である。

$U$ について

目 $1,2,3,4,5,6$ を $3$ で割った余りはそれぞれ $1,2,0,1,2,0$ である。よって $X$ は $0,1,2$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ でとり、$U=X-1$ は $-1,0,1$ をそれぞれ確率 $\frac{1}{3}$ でとる。したがって
$$E(U)=\frac{1}{3}(-1+0+1)=0,E(U^2)=\frac{1}{3}(1+0+1)=\frac{2}{3}.$$

$W$ について

$Y$ は二項分布 $B\left(3,\frac{1}{2}\right)$ に従うので
$$E(Y)=3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2},V(Y)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}.$$
よって $E(Y^2)=V(Y)+\{E(Y){\}}^2=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=3$ である。これより
$$E(W)=E(Y)+1=\frac{5}{2},$$
$$E(W^2)=E(Y^2+2Y+1)=E(Y^2)+2E(Y)+1=3+3+1=7.$$

分散の計算

$U$ と $W$ は独立なので
$$E(UW)=E(U)E(W)=0\cdot \frac{5}{2}=0.$$
$U^2$ と $W^2$ も独立なので
$$E((UW{)}^2)=E(U^2{W}^2)=E(U^2)E(W^2)=\frac{2}{3}\cdot 7=\frac{14}{3}.$$
したがって
$$V(Z)=V(UW)=E((UW{)}^2)-\{E(UW){\}}^2=\frac{14}{3}-0=\frac{14}{3}.$$

（確認：$E(Z)=E(XY)+E(X)-E(Y)=1\cdot \frac{3}{2}+1-\frac{3}{2}=1$ であり、$E(Z)=E(UW)+1=1$ と一致する。）

答え：$V(Z)=\frac{14}{3}$

さいころの目 1〜6 を 3 で割った余りは 1,2,0,1,2,0 なので、$X$ は $0,1,2$ を等確率 $\frac{1}{3}$ ずつとる。したがって $E[X]=1$ である。

$Y$ は二項分布 $B(3,\frac{1}{2})$ に従うので、$E[Y]=\frac{3}{2}$、$V(Y)=\frac{3}{4}$、$E[Y^2]=\frac{3}{4}+\frac{9}{4}=3$ である。$X$ と $Y$ は独立である。

$Z=XY+X-Y=(X-1)(Y+1)+1$ と変形できる（展開すると $(X-1)(Y+1)=XY+X-Y-1$ となる）。よって $V(Z)=V((X-1)(Y+1))$ である。

$X-1$ と $Y+1$ は独立で、$E[X-1]=0$ である。したがって
$V(Z)=E[(X-1{)}^2]E[(Y+1{)}^2]-(E[X-1]E[Y+1]{)}^2=E[(X-1{)}^2]E[(Y+1{)}^2]$。

$E[(X-1{)}^2]=\frac{1}{3}(1+0+1)=\frac{2}{3}$。
$E[(Y+1{)}^2]=E[Y^2]+2E[Y]+1=3+3+1=7$。

ゆえに $V(Z)=\frac{2}{3}\cdot 7=\frac{14}{3}$。

検算：$E[Z]=E[XY]+E[X]-E[Y]=\frac{3}{2}+1-\frac{3}{2}=1$。$E[Z^2]$ を $Z-1=(X-1)(Y+1)$ から求めると $E[(Z-1{)}^2]=\frac{14}{3}$ となり、$E[Z]=1$ なので一致する。