統計的な推測の問題

手順 1：$X$ の確率分布を求める。

3 枚の硬貨の表裏の出方は $2^3=8$ 通りで、どれも同様に確からしい。表が $k$ 枚出る出方は ${}_3{\mathrm{C}}_k$ 通りなので、

$$P(X=0)=\frac{1}{8},P(X=1)=\frac{3}{8},P(X=2)=\frac{3}{8},P(X=3)=\frac{1}{8}$$

である（確率の和は $\frac{1+3+3+1}{8}=1$ となり、正しい）。

手順 2：$E(X)$ を求める。

$$E(X)=0\cdot \frac{1}{8}+1\cdot \frac{3}{8}+2\cdot \frac{3}{8}+3\cdot \frac{1}{8}=\frac{0+3+6+3}{8}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$$

手順 3：$E(X^2)$ を求め、$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2$ を使う。

$$E(X^2)=0^2\cdot \frac{1}{8}+1^2\cdot \frac{3}{8}+2^2\cdot \frac{3}{8}+3^2\cdot \frac{1}{8}=\frac{0+3+12+9}{8}=\frac{24}{8}=3$$

よって

$$V(X)=3-{\left(\frac{3}{2}\right)}^2=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$$

手順 4：$V(aX+b)=a^{2}V(X)$ を使う。

$Y=4X-3$ は $a=4,b=-3$ の場合である。分散は定数 $b$ を足しても変わらず、$a^2$ 倍になるので

$$V(Y)=V(4X-3)=4^{2}V(X)=16\cdot \frac{3}{4}=12$$

答えは $12$ である。

X は二項分布 $B(3,\frac{1}{2})$ に従う。よって $V(X)=3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。したがって $V(Y)=V(4X-3)=4^{2}V(X)=16\cdot \frac{3}{4}=12$。
検算：X=0,1,2,3 の確率は $\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}$。$E(X)=\frac{3}{2}$、$E(X^2)=\frac{3}{8}+\frac{12}{8}+\frac{9}{8}=3$。$V(X)=3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}$ で一致する。