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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

1 個のさいころを 90 回投げるとき、3 の倍数の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 2 X - 5$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。

この問題で使うもの

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント 1

まず $X$ がどんな確率分布に従うかを考えましょう。同じ試行を独立に何回もくり返したときの「起こる回数」です。

ヒント 2

二項分布 $B (n, p)$ の分散は $n p (1 - p)$ です。また、 $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ が成り立ちます。

ヒント 3

$X$ は $B (90, \frac{1}{3})$ に従うので、 $V (X) = 90 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 20$ です。これを使って $V (2 X - 5)$ を計算しましょう。

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80

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解説を読む

手順1： $X$ が従う分布を調べる

さいころの目のうち 3 の倍数は $3, 6$ の 2 通りなので、1 回投げて 3 の倍数の目が出る確率は
$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
である。各回の試行は独立で、90 回くり返すので、 $X$ は二項分布 $B (90, \frac{1}{3})$ に従う。

手順2： $X$ の分散を求める

二項分布 $B (n, p)$ に従う確率変数の分散は $n p (1 - p)$ であるから、
$V (X) = 90 \cdot \frac{1}{3} \cdot (1 - \frac{1}{3}) = 90 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 20$

手順3： $Y = 2 X - 5$ の分散を求める

$a, b$ を定数とするとき $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ が成り立つ（定数 $b$ を加えても散らばりは変わらない）。よって
$V (Y) = V (2 X - 5) = 2^{2} \cdot V (X) = 4 \cdot 20 = 80$

したがって、 $V (Y) = 80$ である。

別解

3 の倍数の目は 3, 6 の 2 通りなので、1 回投げて 3 の倍数が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。したがって $X$ は二項分布 $B (90, \frac{1}{3})$ に従う。

$V (X) = 90 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 20$ 。

$V (Y) = V (2 X - 5) = 2^{2} V (X) = 4 \cdot 20 = 80$ 。

検算： $E (X) = 30$ 、標準偏差 $20$ で、 $Y$ の標準偏差は $220$ 。その 2 乗は $80$ で一致する。