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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

1 個のさいころを $450$ 回投げるとき、 $3$ の倍数の目が出る回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 3 X - 100$ の標準偏差 $σ (Y)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、各回の試行は互いに独立であるものとする。

この問題で使うもの

二項分布（説明と入口の問題）
確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず $X$ がどんな二項分布 $B (n, p)$ に従うかを考えよう。 $3$ の倍数の目は $3$ と $6$ の 2 通りである。

ヒント 2

二項分布の分散は $V (X) = n p (1 - p)$ 。また $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ を使おう。

ヒント 3

$X$ は $B (450, \frac{1}{3})$ に従うので $V (X) = 100$ 、 $σ (X) = 10$ となる。あとは $Y = 3 X - 100$ の標準偏差を求めよう。

答えと解説

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30

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解説を読む

手順1： $X$ が従う分布を確かめる

さいころを 1 回投げて $3$ の倍数の目（ $3$ または $6$ ）が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ である。各回の試行は独立なので、 $450$ 回投げたときの $3$ の倍数の目の回数 $X$ は二項分布 $B (450, \frac{1}{3})$ に従う。

手順2： $X$ の分散と標準偏差を求める

二項分布 $B (n, p)$ の分散は $n p (1 - p)$ であるから
$V (X) = 450 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = 100$
よって
$σ (X) = 100 = 10$

手順3： $Y = 3 X - 100$ の標準偏差を求める

$a, b$ を定数とするとき $σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$ が成り立つ（定数 $b$ を加えても散らばりは変わらない）。よって
$σ (Y) = ∣3∣ \times σ (X) = 3 \times 10 = 30$

答えは $30$ である。

別解

3 の倍数の目は 3, 6 の 2 通りなので、1 回投げて 3 の倍数の目が出る確率は $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 。 $X$ は二項分布 $B (450, \frac{1}{3})$ に従う。
分散 $V (X) = 450 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = 100$ 、よって $σ (X) = 10$ 。
$Y = 3 X - 100$ より $σ (Y) = ∣3∣ σ (X) = 30$ 。
検算: $V (Y) = 3^{2} \cdot 100 = 900$ 、 $900 = 30$ 。

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