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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

1 個のさいころを 30 回投げ、1 の目が出た回数を $X$ とする。確率変数 $Y = 3 X + 2$ の分散 $V (Y)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、さいころを投げる各回の結果は互いに独立であるとする。

この問題で使うもの

仮説検定（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず、1 の目が出た回数 $X$ がどんな確率分布に従うかを考えましょう。回数 $n$ と 1 回あたりの確率 $p$ を確認します。

ヒント 2

$X$ は二項分布 $B (30, \frac{1}{6})$ に従うので $V (X) = n p (1 - p)$ です。また、 $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ を使います。

ヒント 3

$V (X) = 30 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6}$ です。これを $V (3 X + 2) = 9 V (X)$ に代入しましょう。

答えと解説

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\frac{75}{2}

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解説を読む

手順 1： $X$ の分布を決める。
1 回投げて 1 の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ です。各回の結果は互いに独立で、30 回とも 1 の目が出る確率は同じ $\frac{1}{6}$ なので、 $X$ は二項分布 $B (30, \frac{1}{6})$ に従います。

手順 2： $X$ の分散を求める。
二項分布 $B (n, p)$ に従う確率変数の分散は $n p (1 - p)$ です。 $n = 30$ 、 $p = \frac{1}{6}$ なので
$V (X) = 30 \cdot \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{6}) = 30 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{150}{36} = \frac{25}{6}$
です。

手順 3： $Y = 3 X + 2$ の分散を求める。
$a$ , $b$ を定数とするとき $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ が成り立ちます（定数 $b$ を加えても散らばりは変わらず、 $a$ 倍すると分散は $a^{2}$ 倍になります）。よって
$V (Y) = V (3 X + 2) = 3^{2} V (X) = 9 \cdot \frac{25}{6} = \frac{225}{6} = \frac{75}{2}$
です。

答え： $V (Y) = \frac{75}{2}$

別解

X は二項分布 $B (30, \frac{1}{6})$ に従う。よって $V (X) = n p (1 - p) = 30 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6}$ 。 $Y = 3 X + 2$ なので $V (Y) = 3^{2} V (X) = 9 \cdot \frac{25}{6} = \frac{75}{2}$ 。検算： $30 \cdot \frac{1}{6} = 5$ 、 $5 \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{6}$ 、 $9 \cdot \frac{25}{6} = \frac{225}{6} = \frac{75}{2}$ で一致する。

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