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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

$1$ 個のさいころを $180$ 回投げ、 $1$ の目が出た回数を $X$ とする。確率変数 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。ただし、さいころの各目の出方は同様に確からしく、各回の結果は互いに独立であるとする。

この問題で使うもの

二項分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず、 $X$ がどのような確率分布に従うかを考えましょう。同じ試行を独立にくり返したときに、ある事象が起こる回数です。

ヒント 2

$X$ は二項分布 $B (180, \frac{1}{6})$ に従います。二項分布 $B (n, p)$ の分散は $V (X) = n p (1 - p)$ 、標準偏差は $σ (X) = V (X)$ です。

ヒント 3

$V (X) = 180 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}$ を計算し、その正の平方根をとりましょう。

答えと解説

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5

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解説を読む

手順1： $X$ が従う確率分布を調べる。

さいころを $1$ 回投げて $1$ の目が出る確率は $\frac{1}{6}$ である。各回の結果は互いに独立であり、これを $180$ 回くり返すので、 $1$ の目が出る回数 $X$ は二項分布 $B (180, \frac{1}{6})$ に従う。

手順2：分散を求める。

二項分布 $B (n, p)$ に従う確率変数の分散は $n p (1 - p)$ である。 $n = 180$ , $p = \frac{1}{6}$ を代入すると
$V (X) = 180 \cdot \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{6}) = 180 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 30 \cdot \frac{5}{6} = 25$

手順3：標準偏差を求める。

標準偏差は分散の正の平方根なので
$σ (X) = V (X) = 25 = 5$

（参考：期待値は $E (X) = n p = 180 \cdot \frac{1}{6} = 30$ である。）

答え： $σ (X) = 5$

別解

$X$ は二項分布 $B (180, \frac{1}{6})$ に従う。分散は $V (X) = n p (1 - p) = 180 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = 30 \cdot \frac{5}{6} = 25$ 。よって標準偏差は $σ (X) = 25 = 5$ 。検算：平均 $E (X) = 30$ 、 $n p (1 - p) = 180 \times 5/36 = 25$ で一致する。

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