連続型確率変数と確率密度関数

確率密度関数の積分で確率を求め、連続型確率変数の期待値・分散を計算できる

前提

確率変数の期待値・分散と $a X + b$ （数学B 統計的な推測）
定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

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算数中学高校大学大学院

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定積分の計算（数学II 微分法と積分法）

説明

身長・待ち時間・長さのように、ある範囲のどんな実数値でもとりうる確率変数を「連続型確率変数」といいます。連続型では「ちょうど $X = a$ となる確率」を考えても役に立たないので、代わりに関数 $f (x)$ のグラフと $x$ 軸の間の面積で確率を表します。この技能を使うと、確率 $P (a ≦ X ≦ b)$ を定積分で求めたり、期待値 $E (X)$ ・分散 $V (X)$ を定積分で計算したりできるようになります。

なぜそうしてよいのか

度数分布のヒストグラムで、各長方形の高さを「相対度数 ÷ 階級の幅」にすると、長方形の面積がその階級の相対度数（割合）になり、面積の合計は $1$ になります。データを増やして階級の幅をどんどん細かくすると、長方形の上端はなめらかな曲線 $y = f (x)$ に近づいていきます。そこで、確率変数 $X$ が $a ≦ X ≦ b$ となる確率を、曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸、直線 $x = a$ , $x = b$ で囲まれた面積、つまり $P (a ≦ X ≦ b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ で表します。このような $f (x)$ を $X$ の確率密度関数といい、 $X$ のとる値の範囲を $α ≦ x ≦ β$ とすると、確率は負にならず全体の確率は $1$ なので、 $f (x) ≧ 0$ かつ $\int_{α}^{β} f (x) d x = 1$ が必要です。なお、幅が $0$ の区間の面積は $0$ なので $P (X = a) = 0$ であり、不等号に等号が付くかどうかで確率は変わりません。

期待値も同じ考え方で導けます。離散型では $E (X) = \sum x_{k} p_{k}$ でした。範囲を細かく区切ると、 $x$ 付近の幅 $Δ x$ の小区間に入る確率はおよそ $f (x) Δ x$ なので、和 $\sum x f (x) Δ x$ は区切りを細かくすると定積分に近づき、 $E (X) = \int_{α}^{β} x f (x) d x$ となります。同様に $E (X^{2}) = \int_{α}^{β} x^{2} f (x) d x$ で、分散は離散型と同じ $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で求められます。期待値・分散の性質も離散型と同じように成り立つので、 $E (a X + b) = a E (X) + b$ , $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ もそのまま使えます。

手順

$X$ のとる値の範囲 $α ≦ x ≦ β$ と確率密度関数 $f (x)$ を確認し、 $f (x) ≧ 0$ と $\int_{α}^{β} f (x) d x = 1$ を確かめる（ $f (x)$ に未知の定数があれば、この式から定める）
確率は面積として求める： $P (a ≦ X ≦ b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$
期待値を求める： $E (X) = \int_{α}^{β} x f (x) d x$
$E (X^{2}) = \int_{α}^{β} x^{2} f (x) d x$ を求め、 $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で分散を出す（標準偏差は $σ (X) = V (X)$ ）
必要なら $E (a X + b) = a E (X) + b$ , $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ を使って変換後の値を求める

例題

確率変数 $X$ のとる値の範囲が $0 ≦ X ≦ 1$ で、その確率密度関数が $f (x) = 2 x$ $(0 ≦ x ≦ 1)$ であるとき、 $X$ の分散 $V (X)$ を求めよ。

例題の解答

【手順1】 $0 ≦ x ≦ 1$ で $f (x) = 2 x ≧ 0$ であり、 $\int_{0}^{1} 2 x d x = [x^{2}]_{0}^{1} = 1$ なので、確率密度関数の条件を満たしている。
【手順3】期待値は $E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 2 x d x = \int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = [\frac{2}{3} x^{3}]_{0}^{1} = \frac{2}{3}$
【手順4】 $E (X^{2}) = \int_{0}^{1} x^{2} \cdot 2 x d x = \int_{0}^{1} 2 x^{3} d x = [\frac{1}{2} x^{4}]_{0}^{1} = \frac{1}{2}$ よって $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2} = \frac{1}{2} - (\frac{2}{3})^{2} = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18}$

答え: $\frac{1}{18}$

よくある誤り

$f (a)$ の値を $P (X = a)$ だと思ってしまう誤り。確率は面積で表すので $P (X = a) = 0$ であり、 $f (x)$ の値そのものは確率ではない（たとえば $f (x) = 2 x$ では $f (1) = 2 > 1$ となることもある）。確率は $P (a ≦ X ≦ b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ で求める。
期待値を $E (X) = \int_{α}^{β} f (x) d x$ と計算してしまう誤り。これは全確率で必ず $1$ になる。正しくは $x$ を掛けて $E (X) = \int_{α}^{β} x f (x) d x$ （例： $f (x) = 2 x$ なら $\int_{0}^{1} 2 x^{2} d x = \frac{2}{3}$ ）。
分散を $V (X) = \int_{α}^{β} x^{2} f (x) d x$ で終えてしまう誤り。これは $E (X^{2})$ にすぎない。正しくは $V (X) = E (X^{2}) - {E (X)}^{2}$ で、例題なら $\frac{1}{2}$ ではなく $\frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{1}{18}$ 。
積分の範囲を $X$ のとる値の範囲の外まで広げてしまう誤り。たとえば $0 ≦ X ≦ 1$ で $f (x) = 2 x$ のとき $P (X ≦ 2)$ を $\int_{0}^{2} 2 x d x = 4$ とするのは誤り。範囲外では確率は $0$ なので、正しくは $\int_{0}^{1} 2 x d x = 1$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

正規分布と標準化（数学B 統計的な推測）
一様分布・指数分布（大学数学確率・統計）