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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

連続型確率変数 $X$ のとり得る値の範囲が $0 ≦ x ≦ 2$ で、その確率密度関数が
$f (x) = \frac{x}{2} (0 ≦ x ≦ 2)$
であるとする。このとき、確率 $P (1 ≦ X ≦ 2)$ を求めよ。

この問題で使うもの

連続型確率変数と確率密度関数（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

連続型確率変数では、 $P (a ≦ X ≦ b)$ は確率密度関数 $y = f (x)$ のグラフと $x$ 軸ではさまれた部分のうち、 $a ≦ x ≦ b$ の範囲の面積で表されます。

ヒント 2

$P (1 ≦ X ≦ 2) = \int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x$ を計算しましょう。

ヒント 3

$\frac{x}{2}$ の原始関数の一つは $\frac{x ^{2}}{4}$ なので、 $[\frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{2}$ を計算すればよいです。

答えと解説

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\frac{3}{4}

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解説を読む

手順1：確率密度関数と確率の関係を確認する

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f (x)$ のとき、 $P (a ≦ X ≦ b)$ は、曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸、および 2 直線 $x = a$ , $x = b$ で囲まれた部分の面積に等しく、
$P (a ≦ X ≦ b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$
で求められます。

なお、
$\int_{0}^{2} \frac{x}{2} d x = [\frac{x ^{2}}{4}]_{0}^{2} = \frac{4}{4} - 0 = 1$
であり、全体の面積が $1$ になっているので、 $f (x)$ は確率密度関数の条件を満たしています。

手順2：定積分を計算する

$P (1 ≦ X ≦ 2) = \int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x = [\frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{2} = \frac{2 ^{2}}{4} - \frac{1 ^{2}}{4} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

別解（図形の面積として求める）

$y = \frac{x}{2}$ のグラフは直線なので、求める部分は上底 $f (1) = \frac{1}{2}$ 、下底 $f (2) = 1$ 、高さ $1$ の台形です。その面積は
$\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2} + 1) \times 1 = \frac{3}{4}$
となり、同じ結果が得られます。

答え： $\frac{3}{4}$

別解

確率 $P (1 ≦ X ≦ 2) = \int_{1}^{2} \frac{x}{2} d x = [\frac{x ^{2}}{4}]_{1}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。検算：全体 $\int_{0}^{2} \frac{x}{2} d x = 1$ で、 $P (0 ≦ X ≦ 1) = \frac{1}{4}$ なので、 $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ 。また三角形の面積でも、全体は底辺2・高さ1の三角形で面積1、 $x = 1$ から $2$ までは台形で (1/2+1)/2×1=3/4 となり一致する。

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