統計的な推測の問題

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x)$ $(a\leqq x\leqq b)$ のとき、期待値と分散は次の定積分で求められます。
$$E(X)={\int }_a^{b}xf(x)dx,V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2,E(X^2)={\int }_a^b{x}^{2}f(x)dx$$

手順 1：期待値 $E(X)$ を求める。
$$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 2xdx={\int }_0^{1}2x^{2}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{2}{3}$$

手順 2：$E(X^2)$ を求める。
$$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 2xdx={\int }_0^{1}2x^{3}dx={\left[\frac{1}{2}{x}^4\right]}_0^1=\frac{1}{2}$$

手順 3：分散の公式に代入する。
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{1}{2}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9}{18}-\frac{8}{18}=\frac{1}{18}$$

（参考：${\int }_0^{1}2xdx={\left[x^2\right]}_0^1=1$ なので、$f(x)$ は確率密度関数の条件を満たしています。）

よって $V(X)=\frac{1}{18}$ です。

$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 2xdx={\left[\frac{2}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{2}{3}$

$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 2xdx={\left[\frac{1}{2}{x}^4\right]}_0^1=\frac{1}{2}$

よって $V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9-8}{18}=\frac{1}{18}$

検算：確率密度関数の全体の積分は ${\int }_0^{1}2xdx=1$ で正しい。また $V(X)={\int }_0^1{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2\cdot 2xdx={\int }_0^1\left(2x^3-\frac{8}{3}{x}^2+\frac{8}{9}x\right)dx=\frac{1}{2}-\frac{8}{9}+\frac{4}{9}=\frac{1}{18}$ となり一致する。