統計的な推測の問題

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f(x)(a\leqq x\leqq b)$ のとき、期待値と分散は次の定積分で求められる。
$$E(X)={\int }_a^{b}xf(x)dx,V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2,E(X^2)={\int }_a^b{x}^{2}f(x)dx$$

まず、$f(x)$ が確率密度関数になっていることを確かめる。$0\leqq x\leqq 1$ で $f(x)=2x\geqq 0$ であり、
$${\int }_0^{1}2xdx=[x^2{]}_0^1=1$$
となるので、全確率は $1$ である。

期待値
$$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 2xdx={\int }_0^{1}2x^{2}dx={\left[\frac{2}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{2}{3}$$

$X^2$ の期待値
$$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 2xdx={\int }_0^{1}2x^{3}dx={\left[\frac{1}{2}{x}^4\right]}_0^1=\frac{1}{2}$$

分散
$$V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{1}{2}-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9-8}{18}=\frac{1}{18}$$

よって $V(X)=\frac{1}{18}$ である。

$E(X)={\int }_0^{1}x\cdot 2xdx={\left[\frac{2}{3}{x}^3\right]}_0^1=\frac{2}{3}$。
$E(X^2)={\int }_0^1{x}^2\cdot 2xdx={\left[\frac{x^4}{2}\right]}_0^1=\frac{1}{2}$。
よって $V(X)=E(X^2)-\{E(X){\}}^2=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9-8}{18}=\frac{1}{18}$。
検算：${\int }_0^{1}2xdx=1$ で確率密度として適切。$V(X)={\int }_0^1{\left(x-\frac{2}{3}\right)}^{2}2xdx={\int }_0^1(2x^3-\frac{8}{3}{x}^2+\frac{8}{9}x)dx=\frac{1}{2}-\frac{8}{9}+\frac{4}{9}=\frac{1}{18}$。一致する。