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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

確率変数 $X$ のとりうる値の範囲が $0 ≦ X ≦ 1$ で、その確率密度関数が
$f (x) = 3 x^{2} (0 ≦ x ≦ 1)$
であるとする。 $X$ の期待値 $E (X)$ を求めよ。

この問題で使うもの

連続型確率変数と確率密度関数（説明と入口の問題）
多項式の不定積分（説明と入口の問題）
定積分の計算（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（30 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

連続型確率変数の期待値は、確率密度関数を使った定積分で求めます。

ヒント 2

$E (X) = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ を使います。

ヒント 3

$E (X) = \int_{0}^{1} 3 x^{3} d x$ となります。 $3 x^{3}$ の原始関数を求めて、 $0$ から $1$ までの定積分を計算しましょう。

答えと解説

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\frac{3}{4}

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解説を読む

連続型確率変数 $X$ の確率密度関数が $f (x) (a ≦ x ≦ b)$ のとき、期待値は次の式で求めます。
$E (X) = \int_{a}^{b} x f (x) d x$
離散型の期待値「(とりうる値)×(確率) の和」を、積分に置き換えたものです。

(参考) $f (x) = 3 x^{2}$ は区間全体で $f (x) ≧ 0$ を満たします。また $\int_{0}^{1} 3 x^{2} d x = [x^{3}]_{0}^{1} = 1$ となり、確率の合計が $1$ であることも確かめられます。

今回は $a = 0, b = 1, f (x) = 3 x^{2}$ なので、
$E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 3 x^{2} d x = \int_{0}^{1} 3 x^{3} d x$
となります。 $3 x^{3}$ の原始関数は $\frac{3}{4} x^{4}$ なので、
$E (X) = [\frac{3}{4} x^{4}]_{0}^{1} = \frac{3}{4} \cdot 1^{4} - \frac{3}{4} \cdot 0^{4} = \frac{3}{4}$

よって $E (X) = \frac{3}{4}$ です。

別解

連続型確率変数の期待値は $E (X) = \int_{0}^{1} x f (x) d x$ で求める。

$E (X) = \int_{0}^{1} x \cdot 3 x^{2} d x = \int_{0}^{1} 3 x^{3} d x = [\frac{3}{4} x^{4}]_{0}^{1} = \frac{3}{4}$

検算： $\int_{0}^{1} 3 x^{2} d x = [x^{3}]_{0}^{1} = 1$ なので $f (x)$ は確率密度関数の条件を満たす。また、 $X$ の分布は 1 に近い側に偏っているので、期待値が $\frac{1}{2}$ より大きい $\frac{3}{4}$ になるのは妥当である。

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