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統計的な推測の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学B 統計的な推測

当たりを引く確率が $\frac{1}{5}$ であるくじがある。このくじを $1$ 本引いて当たりかどうかを確かめ、もとに戻す。この試行を $100$ 回繰り返す。ただし、各回の試行は互いに独立であるとする。当たりを引いた回数を $X$ とするとき、確率変数 $X$ の標準偏差 $σ (X)$ を求めよ。

この問題で使うもの

二項分布（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（17 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

二項分布の技能を使います。 $X$ がどんな二項分布 $B (n, p)$ に従うかを考えましょう。

ヒント 2

二項分布 $B (n, p)$ の分散は $n p (1 - p)$ です。標準偏差は分散の正の平方根です。

ヒント 3

$X$ は $B (100, \frac{1}{5})$ に従うので、 $V (X) = 100 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5}$ を計算し、その正の平方根をとります。

答えと解説

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4

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解説を読む

1 回の試行で当たりを引く確率は $p = \frac{1}{5}$ である。引いたくじはもとに戻し、各回の試行は互いに独立なので、この試行は同じ条件で $100$ 回繰り返す反復試行である。

したがって、当たりを引いた回数 $X$ が $r$ になる確率は
$P (X = r) =_{100} C_{r} (\frac{1}{5})^{r} (\frac{4}{5})^{100 - r} (r = 0, 1, 2, \dots, 100)$
となる。よって $X$ は二項分布 $B (100, \frac{1}{5})$ に従う。

二項分布 $B (n, p)$ に従う確率変数の分散は $n p (1 - p)$ である。 $n = 100$ , $p = \frac{1}{5}$ , $1 - p = \frac{4}{5}$ を代入すると
$V (X) = 100 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} = 16$
となる。

標準偏差は分散の正の平方根なので
$σ (X) = V (X) = 16 = 4$
である。

答えは $4$ である。

別解

$X$ は二項分布 $B (100, \frac{1}{5})$ に従う。分散は $V (X) = n p (1 - p) = 100 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{4}{5} = 16$ 。したがって標準偏差は $σ (X) = 16 = 4$ 。検算： $E (X) = 20$ 、 $V (X) = 100 \times 0.2 \times 0.8 = 16$ で一致する。

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